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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 58

58 - Um circuito R-L-C em série consiste de um capacitor de 2,50   µ F , um indutor de 5,0   m H e um resistor de 75,0 Ω conectados através de uma fonte CA com amplitude de voltagem igual a 15,0 V e frequência variável.

  1. Sob quais circunstâncias a potência média fornecida ao circuito equivale a 1 2 V q m I q m ?
  2. Sob as condições no item (a), qual é a potência média fornecida a cada elemento de circuito e qual é a corrente máxima que passa pelo capacitor?

Passo 1

L e t r a   A :

A potência média fornecida ao circuito é igual a 1 2 V q m I q m , e de acordo com a teoria, potência média é calculada assim:

P m é d = V q m I q m cos ⁡ ϕ

Onde cos ⁡ ϕ é o fator de potência. Então, para termos essa potência média...

cos ⁡ ϕ = 1 / 2

ϕ = 60 °

Sabemos ainda que a tangente desse ângulo é de um circuito RLC série nada mais é que...

tan ⁡ ϕ = X L - X C R       →

Onde esses X são as reatâncias que podem ser relacionadas com ω dessa forma aqui:

ω L - 1 ω C R = tan ⁡ ϕ     →

Isolando ω ...

ω 2 L C - 1 ω C R = tan ⁡ ϕ     →

ω 2 L C - 1 ω R C = tan ⁡ ϕ     →

ω 2 L C - 1 = tan ⁡ ϕ ω R C     →

ω 2 L C - tan ⁡ ϕ ω R C     - 1 = 0

Substituindo todo mundo e simplificando, vamos chegar a uma equação do 2 ° grau:

ω 2 ⋅ 5 ⋅ 10 - 3 ⋅ 2,5 ⋅ 10 - 6 - tan ⁡ 60 ° ω 75 ⋅ 2,5 ⋅ 10 - 6     - 1 = 0   →

12,5 ⋅ 10 - 9 ω 2 - 324,75 ⋅ 10 - 6 ω     - 1 = 0   →

ω 2 - 25,92 ⋅ 10 3 ω     - 0,08 ⋅ 10 9 = 0   →

Resolvendo usando báskara, vamos obter...

ω = 25,92 ⋅ 10 3 ± 25,92 ⋅ 10 3 2 - 4 ⋅ - 0,08 ⋅ 10 9 2

Onde vamos obter ω = 28,760   r a d / s .

Passo 2

L e t r a   B :

A potência média sob as condições anterior de cada elemento são: 0 para o indutor e o capacitor, já que eles não consomem potência ativa e, já para o capacitor é...

P = 1 2 V q m I q m

Onde I q m = V q m Z ...

P = 1 2 Z V q m 2

Onde Z no caso é a impedância total do circuito...

Z = R 2 + ω L - 1 ω C 2

No nosso caso...

Z = 75 2 + 28,76 ⋅ 5 ⋅ 10 - 3 - 1 28,76 ⋅ 2,5 ⋅ 10 - 6 2 =

150 Ω

Então...

P = 1 2 Z V q m 2   →

Lembrando que V q m = V / 2

P = 1 2 ⋅ 150 15 2 2 =

0,375 W

Passo 3

A máxima corrente que passa pelo capacitor é a corrente do circuito:

I = V Z = 15 150 =

0,1 A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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