Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 73
73. Anteriormente, desprezamos a variação do campo magnético ao longo da seção reta de um solenoide toroidal. Vamos agora examinar a ordem de grandeza dessa aproximação. Um dado solenoide toroidal possui uma seção reta retangular (Figura ). Ele contém ar em seu núcleo e espiras uniformemente espaçadas. O campo magnético no interior do toróide foi deduzido no Exemplo (Seção ). Não suponha que o campo magnético seja uniforme ao longo da seção reta. Mostre que o fluxo magnético através da seção reta do toróide é dado por
mostre a indutância do toróide é dada por
A fração pode ser escrita do seguinte modo:
Use o desenvolvimento em série de potencias , válido para qualquer , para mostrar que, quando é muito menor do que , a indutância pode ser escrita aproximadamente do seguinte modo:
Compare o resultado anterior ao resultado obtido no Exemplo (Seção 30.2).
Passo 1
Esse problema é bem dizer fazer conta e chegar no que o enunciado quer.
Primeiro temos que encontrar o fluxo pedido no enunciado, temos que:
Onde é o campo magnético do interior do toróide que é dado por:
E é o elemento de área da seção reta do toróide, que é dado por:
Então para achar o fluxo através da seção reta basta integrar de até , assim:
Tendo encontrado esse fluxo, podemos encontrar a indutância do toróide que pode ser escrita como:
Basta substituir o que encontrarmos nessa expressão.
Depois só aplicar a série de potencias mostrada no enunciado em
E substituir o termo de ordem na fórmula da indutância.
Passo 2
Vamos encontrar o fluxo, temos:
Substituindo com que sabemos, temos:
Colocando tudo que não depende de para fora, temos:
Então temos que:
Passo 3
Agora vamos substituir essa expressão que temos para o fluxo na fórmula da indutância, temos:
Passo 4
Agora vamos aplicar a seguinte expansão no termo mencionado no passo , temos:
Aplicando em:
Temos que:
Desprezando o termo de segunda ordem para cima e substituindo na fórmula da indutância temos que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)