73. Anteriormente, desprezamos a variação do campo magnético ao longo da seção reta de um solenoide toroidal. Vamos agora examinar a ordem de grandeza dessa aproximação. Um dado solenoide toroidal possui uma seção reta retangular (Figura 30.31 ). Ele contém ar em seu núcleo e N espiras uniformemente espaçadas. O campo magnético no interior do toróide foi deduzido no Exemplo 28.11 (Seção 28.7 ). Não suponha que o campo magnético seja uniforme ao longo da seção reta. ( a ) Mostre que o fluxo magnético através da seção reta do toróide é dado por Φ B = μ 0 N i h 2 π ln ⁡ b a ( b ) mostre a indutância do toróide é dada por L = μ 0 N 2 h 2 π ln ⁡ b a ( c ) A fração b / a pode ser escrita do seguinte modo: b a = a + b - a a = 1 + b - a a Use o desenvolvimento em série de potencias ln ⁡ ( 1 + z ) = z + z 2 / 2 + … , válido para qualquer z1 , para mostrar que, quando b - a é muito menor do que a , a indutância pode ser escrita aproximadamente do seguinte modo: L = μ 0 N 2 h ( b - a ) 2 π a Compare o resultado anterior ao resultado obtido no Exemplo 30.3 (Seção 30.2).

Enunciado

Esse problema é bem dizer fazer conta e chegar no que o enunciado quer.

Primeiro temos que encontrar o fluxo pedido no enunciado, temos que:

Onde é o campo magnético do interior do toróide que é dado por:

E é o elemento de área da seção reta do toróide, que é dado por:

Então para achar o fluxo através da seção reta basta integrar de até , assim:

Tendo encontrado esse fluxo, podemos encontrar a indutância do toróide que pode ser escrita como:

Basta substituir o que encontrarmos nessa expressão.

Depois só aplicar a série de potencias mostrada no enunciado em

E substituir o termo de ordem na fórmula da indutância.

Vamos encontrar o fluxo, temos:

Substituindo com que sabemos, temos:

Colocando tudo que não depende de para fora, temos:

Então temos que:

Agora vamos substituir essa expressão que temos para o fluxo na fórmula da indutância, temos:

Agora vamos aplicar a seguinte expansão no termo mencionado no passo , temos:

Aplicando em:

Temos que:

Desprezando o termo de segunda ordem para cima e substituindo na fórmula da indutância temos que:

Ei, a resposta está no passo a passo :)