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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 36.Questionário - Ex. 5

Em um circuito R L C série oscilante, R = 16,0 Ω , C = 31,2 μ F , L = 9,20 m H   e   E m = E m sen ω d t c o m ⁡ E m = 45,0 V e ω d = 3000 rad/s. No instante t = 0,442   m s , determine (a) a taxa P G com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador; (b) a taxa P C com a qual a energia do capacitor está variando; (c) a taxa P L com a qual a energia do indutor está variando; (d) a taxa P R com a qual a energia está sendo dissipada no resistor. (e) A soma de P C P L e P R é maior, menor ou igual a P G ?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

A corrente no circuito é dada por  i ( t ) = I s e n ⁡ ω d t - ϕ , na qual

I = ϵ m Z = ϵ m R 2 + ω d L - 1 / ω d C 2

= 45,0   V ( 16,0 Ω ) 2 + { ( 3000 r a d / s ) ( 9,20 m H ) - 1 / [ ( 3000 r a d / s ) ( 31,2 μ F ) ] } 2 = 1,93   A ϕ = t a n - 1 ⁡ X L - X C R = t a n - 1 ⁡ ω d L - 1 / ω d C R = t a n - 1 ⁡ ( 3000 r a d / s ) ( 9,20 m H ) 16,0 Ω - 1 ( 3000 r a d / s ) ( 16,0 Ω ) ( 31,2 μ F ) = 46 , 5 ∘ .

(a) A taxa com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador é

P G = i ( t ) ϵ ( t ) = I s e n ⁡ ω d t - ϕ ϵ m s e n ⁡ ω d t

= ( 1,93 A ) ( 45,0 V ) s e n ⁡ [ ( 3000 r a d / s ) ( 0,442 m s ) ] s e n ⁡ ( 3000 r a d / s ) ( 0,442 m s ) - 46 , 5 ∘

= 41,4 W

Passo 2

(b) Como

v c ( t ) = V c s e n ⁡ ω d t - ϕ - π / 2 = - V c c o s ⁡ ω d t - ϕ

na qual  V C = I / ω d C , a taxa com a qual a energia do capacitor está variando é

P C = d d t q 2 2 C = i q C = i v c

= - I s e n ⁡ ω d t - ϕ I ω d C c o s ⁡ ω d t - ϕ = - I 2 2 ω d C s e n ⁡ 2 ω d t - ϕ = - ( 1,93   A ) 2 2 ( 3000 r a d / s ) 31,2 × 10 - 6   F s e n ⁡ 2 ( 3000 r a d / s ) ( 0,442   m s ) - 2 46 , 5 ∘ = - 17,0   W .

Passo 3

(c) A taxa com a qual a energia do indutor está variando é

P L = d d t 1 2 L i 2 = L i d i d t = L I s e n ⁡ ω d t - ϕ d d t I s e n ⁡ ω d t - ϕ = 1 2 ω d L I 2 s e n ⁡ 2 ω d t - ϕ

= 1 2 ( 3000 r a d / s ) ( 1,93   A ) 2 ( 9,20 m H ) s e n ⁡ 2 ( 3000 r a d / s ) ( 0,442   m s ) - 2 46 , 5 ∘ = 44,1   W

Passo 4

(d) A taxa com a qual a energia está sendo dissipada no resistor é

P R = i 2 R = I 2 R s e n 2 ⁡ ω d t - ϕ = ( 1,93 A ) 2 ( 16,0 Ω ) s e n 2 ⁡ ( 3000 r a d / s ) ( 0,442 m s ) - 46 , 5 ∘

= 14,4 W .

Passo 5

(e) A soma é igual.  P L + P R + P C = 44,1 W - 17,0 W + 14,4 W = 41,5 W = P G .

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Resposta

a.   41,4 W

b. - 17,0   W .

c. 44,1   W

d. 14,4 W .

e. 41,5 W = P G .

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