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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 23.Exercícios e Problemas - Ex. 8

Um circuito tem indutância L e resistência elétrica R .

a) Mostre que para se gerar no circuito uma corrente I = I 0   s e n   ω t é necessário que se lhe aplique uma voltagem

V t = R I 0   s e n   ω t + ω L I 0 cos ⁡ ω t

b) Mostre que a potência média fornecida ao circuito pela fonte de tensão é

P - = 1 2 R I 0 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem?

Esse exercício é bem tranquilinho. Vamos com calma que eu te explico tudo que você precisa saber!

A tensão fornecida ao circuito será dividida na tensão do resistor e do indutor:

V = V R + V L

A tensão no resistor sai da tradicional lei de Ohm:

V R = R I

Já a tensão no indutor é dada por

V L = L d I d t

Com isso, a tensão total será

V = R I + L d I d t

Usando a expressão I = I 0   s e n   ω t , temos que

d I d t = I 0   ω cos ⁡ ω t

Assim,

V t = R I 0   s e n   ω t + ω L I 0 cos ⁡ ω t

Era isso que o exercício pedia para mostrarmos no item (a).

Passo 2

Para o item (b) temos que achar primeiro a potência como função do tempo:

P t = V t ⋅ I t

Assim,

P t = R I 0   s e n   ω t + ω L I 0 cos ⁡ ω t ⋅ I 0   s e n   ω t

Portanto,

P t = R I 0 2   s e n 2 ω t + ω L I 0 2   s e n   ω t cos ⁡ ω t

Daí, basta tomar o valor médio ao longo de um período:

P - = P t = R I 0 2   s e n 2 ω t + ω L I 0 2   s e n   ω t cos ⁡ ω t

O valor médio em um período T = 2 π / ω é definido por

s e n 2 ω t = 1 T ∫ 0 T s e n 2 ω t   d t = 1 2

s e n   ω t cos ⁡ ω t = 1 T ∫ 0 T s e n   ω t cos ⁡ ω t   d t = 0

Com isso, temos que

P - = R I 0 2 ⋅ 1 2 + ω L I 0 2 ⋅ 0

Ou ainda,

P - = 1 2 R I 0 2

Desta forma provamos o que foi pedido no item (b)!

Resposta

Demonstração.

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