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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 27.Problemas Adicionais - Ex. 74

Um condutor esférico de raio R tem uma carga Q sobre sua superfície. Qual é o campo elétrico (a) interior e (b) exterior ao condutor? (c) Que quantidade de energia eletrostática está armazenada numa casca esférica de raio r > R e espessura d r ? (d) Determine por integração a energia armazenada no espaço que circunda o condutor, (e) Qual será a sua variação se o raio do condutor for aumentado para R + Δ R ? (f) O trabalho necessário para esta variação de energia é igual ao produto de uma pressão eletrostática externa e a variação resultante no volume do condutor. Mostre que tal pressão é igual à densidade de energia eletrostática externa ao condutor.

Passo 1

Fala galera, bora lá! O campo elétrico de uma esfera condutora com carga Q pode ser obtido por uma aplicação direta da lei de Gauss.

Φ = E A = 4 π r 2 E = Q ϵ 0

O campo elétrico fora da esfera r > R é idêntico ao de uma carga pontual Q no centro da esfera.

E = Q 4 π ϵ 0 r 2

Para um raio r < R , uma superfície gaussiana envolverá menos que a carga total e o campo elétrico será menor. Dentro da esfera de carga, o campo é dado por:

E = Q r 4 π ϵ 0 R 3

Passo 2

A letra (c) e (d) podem ser resolvidas juntas, pois teremos o mesmo resultado. Para r > R , a energia desta configuração é:

U = ϵ 0 2 ∫ E 2   d V

Sendo d V a variação de volume. Podemos substitui-lo por

d V = 4 π r 2   d r

Como já definido antes, E = Q 4 π ϵ 0 r 2 . Assim,

U = 4 π ϵ 0 2   Q 4 π ϵ 0 2 ∫ R ∞ 1 r 2 2 r 2   d r

Resolvendo a integral

U = 2 π ϵ 0   Q 2 4 π ϵ 0 2 1 R

Quantidade de energia eletrostática está armazenada numa casca será

U = Q 2 8 π ϵ 0 1 R

Passo 3

Se por acaso o raio for aumentado para R + Δ R , a variação de energia eletrostática será

U F - U I

Onde U F = Q 2 8 π ϵ 0 1 R + Δ R

E U I = Q 2 8 π ϵ 0 1 R . Assim temos

Δ U = Q 2 8 π ϵ 0 1 R + Δ R - Q 2 8 π ϵ 0 1 R

Isolando a carga, pra ficar bonita a nossa equação.

Δ U = Q 2 8 π ϵ 0 1 R + Δ R - 1 R

Passo 4

Sabemos que o trabalho necessário para esta variação de energia é igual ao produto de uma pressão eletrostática externa e a variação resultante no volume do condutor.

W = P e Q 2 8 π ϵ 0 1 R + Δ R - 1 R

Em sua definição física, o trabalho de uma força elétrica é definida como

W = Q 4 π ϵ 0 r - Q 4 π ϵ 0 R

Ao substituir na expressão acima, teremos

Q 4 π ϵ 0 r - Q 4 π ϵ 0 R = P e Q 2 8 π ϵ 0 1 R + Δ R - 1 R

Iremos então isolar P e .

P e = Q 2 8 π ϵ 0 1 R

Resposta

  1. E = Q r 4 π ϵ 0 R 3

  2. E = Q 4 π ϵ 0 r 2

  3. U = Q 2 8 π ϵ 0 1 R
  1. Δ U = Q 2 8 π ϵ 0 1 R + Δ R - 1 R

  2. P e = Q 2 8 π ϵ 0 1 R

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