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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 10.1 - Ex. 80

Considere uma plataforma giratória cilíndrica de massa M e raio R , girando com uma rapidez angular inicial ω 1 . (a) Um periquito de massa m , após esvoaçar acima da plataforma, pousa suavamente sobre sua beirada, lá ficando, como mostra a figura. Qual é a rapidez angular da plataforma após o pouso do periquito? (b) Ficando tonto, o periquito salta para fora (sem voar) com uma velocidade v → em relação à plataforma. A direção de v → é tangente à borda da plataforma e o sentido é o da rotação. Qual será a nova rapidez angular da plataforma? Expresse sua resposta em termos das massas m e M , do raio R , da rapidez v do periquito e da rapidez angular inicial ω 1 .

Passo 1

Bora lá dar uma olhada nessa primeira situação. No momento em que o periquito pousa, não tem variação do momento angular, já que ele pousa suavemente. Então:

L f = L i

O momento angular inicial era o da rotação da plataforma:

L i = I ω i = M R 2 2 ω i

No final, o momento angular é o da plataforma mais o do periquito.

L f = L p l a t a f o r m a + L p e r i q u i t o

L f = I ω f + r → × p →

L f = M R 2 ω f 2 + R m v

Como ele está bem na pontinha da plataforma e roda junto com ela, v = ω f R .

L f = M R 2 ω f 2 + R m ω f R

L f = M R 2 ω f 2 + m R 2 ω f

Agora é só igualar o início e o fim:

M R 2 ω i 2 = M R 2 ω f 2 + m R 2 ω f

Arrumando a casa:

ω f = M M + 2 m ω i

Passo 2

b) Agora o periquito vai pular da plataforma, no mesmo sentido da rotação dela. A velocidade dele vai ser igual a:

v p = v p l a t a f o r m a + v = ω f R + v

Substituindo o que encontramos na letra (a):

v p = M M + 2 m ω i R + v

A quantidade de movimento angular no momento do pulo do periquito é:

L p = I ω f + r → × p →

L p = M R 2 ω f 2 + R m v p

L p = M R 2 ω f 2 + m R M M + 2 m ω i R + v

Depois que o periquito pular, só tem momento angular da rotação da plataforma, como era na situação antes dele pousar:

L = M R 2 2 ω i

Igualando:

M R 2 ω f 2 + m R M M + 2 m ω i R + v = M R 2 2 ω i

M R 2 ω f 2 + m M R 2 ω i M + 2 m + m R v = M R 2 2 ω i

Isolando ω f e arrumando a equação vamos obter:

ω f = M M + 2 m ω i - 2 m M v R

Resposta

  1. ω f = M M + 2 m ω i
  2. ω f = M M + 2 m ω i - 2 m M v R
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