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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 8

Considere o seguinte vetor de estado de polarização de um fóton:

Ψ = 1 + i 2 + + 1 - i 2 -

onde + e – são os vetores de estado normalizados de polarização circular esquerda e direita, respectivamente.

a) Mostre que Ψ é normalizado.

b) Mostre que Ψ é linearmente polarizado, e calcule o ângulo de polarização, em valor absoluto e sinal.

Passo 1

O item (a) é mais simples. Para mostra que um vetor de estado é normalizado, basta verificar se

Ψ Ψ = 1

Como

Ψ = 1 + i 2 + + 1 - i 2 -

Temos que

Ψ = 1 - i 2 + + 1 + i 2 -

Observe que temos que tomar o conjugado dos coeficientes quando fazemos a transposição. Lembre-se também que

+ + = - - = 1

+ - = - + = 0

Vamos fazer o produto:

Ψ Ψ = 1 - i 2 + + 1 + i 2 - 1 + i 2 + + 1 - i 2 -

Como os termos mistos se anulam, ficaremos com

Ψ Ψ = ( 1 - i ) ( 1 + i ) 4 + + + ( 1 + i ) ( 1 - i ) 4 —

Logo, como + + = - - = 1 :

Ψ Ψ = ( 1 + i ) ( 1 - i ) 2

Fazendo a distributiva, achamos que

Ψ Ψ = 1 - i 2 2 = 1 + 1 2 = 1

Portanto, vemos que o estado Ψ está normalizado!

Passo 2

Vimos na seção 8.5, que podemos escrever a base dos estados circularmente polarizados como

+ = 1 2 1 i             e           - = 1 2 1 - i

Com isso, podemos escrever

Ψ = 1 + i 2 + + 1 - i 2 - = 1 + i 2 2 1 i + 1 - i 2 2 1 - i

Vamos jogar as constantes multiplicativas para dentro dos vetores:

Ψ = 1 2 2 1 + i i + i 2 + 1 2 2 1 - i - i + i 2

Somando os vetores:

Ψ = 1 2 2 2 2 i 2

Como i 2 = - 1 , temos que

Ψ = 1 2 1 - 1 = 2 2 - 2 2

Passo 3

Um vetor de estado para um fóton linearmente polarizado é do tipo

θ = cos ⁡ θ s e n   θ

Assim, o estado Ψ representa um fóton linearmente polarizado com

cos ⁡ θ = 2 2             e           s e n   θ = - 2 2

Com isso, temos que

θ = - π 4

Resposta

θ = - π 4

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