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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 19

Dois nêutrons 1 e 2 aproximam-se um do outro ao longo da mesma reta, com velocidades opostas v e - v , vistos do referencial do laboratório.

  1. Calcule a velocidade V de 1 em relação a 2, e verifique que é sempre igual a c .
  2. Calcule a energia total do nêutron 2 visto referencial de 1, em função da massa de repouso M 0 do nêutron.

Passo 1

  1. Se fossemos utilizar a relatividade de Galilei para resolver o problema, teríamos:

    2. v r e l = v - - v = 2 v

    Note que tal resultado se mostra incorreto para grandes velocidades. De fato, se v = c 2 então v r e l = c , o que é impossível pelos postulados da relatividade.

    Devemos usar, portanto, a transformação de velocidades relativística:

    v r e l = v 1 - v 2 1 - v 1 v 2 c 2 v r e l = v - - v 1 - v - v c 2 = 2 v 1 + v 2 / c 2

    Se definirmos β = v / c , podemos escrever o resultado anterior como

    v r e l = 2 β c 1 + β 2 v r e l = 2 β 1 + β 2 c

    Note que

    2 β < 1 + β 2 0 < 1 - 2 β + β 2 0 < β - 1 2

    o que é sempre verdadeiro! Logo, v r e l < c !!

    Passo 2

  2. A energia total será dada por:

E = γ r e l M 0 c 2 E = M 0 c 2 1 - v r e l 2 / c 2 E = M 0 c 2 1 - 4 β 2 1 + β 2 2 E = M 0 c 2 1 + β 2 1 + β 2 2 - 4 β 2 E = M 0 c 2 1 + β 2 1 + 2 β 2 + β 4 - 4 β 2 E = M 0 c 2 1 + β 2 1 - β 2 2 = 1 + β 2 1 - β 2 M 0 c 2

Note que quando β → 1 (ou seja, v → c ), segue que E → ∞ , como deveria ser!

Resposta

  1. v r e l = 2 β c / ( 1 + β 2 ) .
  2. E = 1 + β 2 1 - β 2 M 0 c 2 .
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