Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 49
49. Considere o cabo coaxial do Problema . As correntes dos condutores possuem o mesmo módulo , porém seus sentidos são opostos. Aplique a lei de Ampère para determinar o campo magnético em qualquer ponto do volume entre os condutores. Use a expressão da densidade de energia do campo magnético, Equação , para calcular a energia armazenada em uma camada cilíndrica fina entre os dois condutores. Suponha que a camada cilíndrica possua raio interno , raio externo igual a e comprimento . Integre a expressão encontrada no item sobre o volume entre os dois condutores para calcular a energia total armazenada no campo magnético para um comprimento do cabo. Use o resultado do item e a Equação para calcular a indutância de um comprimento do cabo. Compare sua resposta ao resultado obtido no item do Problema .
Passo 1
Vamos discutir cada item separadamente para a gente não se embolar que essa questão é bem grandinha. Vamos lá!
Para o item precisamos da lei de Ampère, que é dada por:
Mas o campo magnético entre os condutos é constante, já que esse campo provém apenas da corrente que passa no condutor interno, então ele pode sair dessa integral, assim só temos que achar quem é
Agora para o item vamos usar equação para achar a densidade de energia assim:
O é o campo que vamos encontrar no item anterior. Temos que é densidade de energia, então é energia sobre volume, logo:
Onde é o elemento de volume da casca cilíndrica (o enunciado falou que era cilindro) que pode ser escrito como:
Para o item basta integrar o que achamos no item anterior, assim:
Você deve estar se perguntado por que de até , é assim pois o enunciado quer o fluxo no volume entre os condutores que, então é a parti do interno de raio até o externo de raio interno .
Para calcular o que é pedido no item , temos que lembrar que, segundo a equação do livro, a energia pode ser escrita como:
Então vamos substituir o que encontrarmos em nessa expressão e isolar e comparar com o item do exercício , que tem como resposta:
Passo 2
Vamos encontrar o que é pedido no item então, temos:
Sendo constante ele pode pular para fora da integral, assim:
A integral em é em tordo de uma circunferência pelo fato de o condutor apresentar um raio e como essa integral é em torno do condutor, temos:
E lembrando que , ficamos com:
Passo 3
Agora que temos o campo podemos achar a expressão para , temos:
Substituindo ficamos com:
Agora vamos substituir esse resultado na expressão da energia, temos:
Passo 4
Agora vamos integrar o resultado passo anterior para chegar no que o item pede, assim:
Podemos jogar para fora da integral o termo:
Já que ele é constante, assim:
Então temos que:
Passo 5
Agora vamos encontrar a expressão para indutância do item , temos:
Substituindo , temos:
Agora podemos isolar , assim:
Comparado com o item do problema , vemos que eles são iguais.