Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 10
Uma corda vibrante de comprimento , presa em ambas as extremidades, está vibrando em seu -ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado pela equação:
Calcule a energia total de oscilação da corda. Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade linear de energia cinética e integre sobre toda a corda.
Passo 1
Vamos seguir a sugestão do enunciado. Para calcular a energia cinética nós vamos ter que derivar o deslocamento transversal em relação ao tempo:
E vamos considerar o instante (equilíbrio):
Como nós mesmos definimos o instante , podemos fazer isso de forma que a fase seja, por exemplo , então:
Passo 2
Agora, ainda seguindo a sugestão do enunciado, vamos procurar a tal densidade linear de energia cinética.
A energia de um “pedaço” de corda com massa é:
E podemos definir essa massa como:
Onde é a densidade linear da corda:
Substituindo com a expressão que encontramos:
Agora é só integrar ao longo do comprimento da corda:
Passo 3
Vamos começar tirando as constantes:
E vamos usar a seguinte identidade trigonométrica:
Então:
Vamos substituir :
Agora dê uma olhada no que acontece com o seno quando substituímos :
Como estamos lidando com modos normais, a razão é um número inteiro, então:
E a energia é:
Resposta
A energia total de oscilação da corda é .