Enunciado

Desprezando os efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfície da água, com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da água, propagam-se com velocidade de fase v φ dada por v φ = g λ 2 π onde g é a aceleração da gravidade. Motre que a velocidade de grupo correspondente é v g = 1 2 v φ .

Passo 1

Uma das definições para a velocidade de fase de uma onda é:

v φ = ω k

Podemos igualar isso à fórmula que foi dada no enunciado:

ω k = g λ 2 π

Lembrando que k = 2 π / λ :

ω k = g k

ω = g k

Beleza, temos a frequência angular.

Passo 2

A velocidade de grupo segue a seguinte fórmula:

v g = d ω d k  

Então:

v g = d d k   g k

v g = 1 2   g k

E voltando a substituir k = 2 π / λ :

v g = 1 2   g λ 2 π

Comparando com a fórmula que foi dada no enunciado, podemos escrever que:

v g = 1 2   v φ

Resposta

Demonstração.

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