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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 17.1 - Ex. 68

Dada a integral ∫ 0 ∞ v 3 e - a v 2 d v = 1 2 a 2 , calcule a rapidez media v m é d das moléculas de um gas usando a função de distrubuição Maxwell-Boltzmann.

Passo 1

Queremos o valor médio da velocidade (rapidez) das moléculas de um gás. E ele fala para usar a função de distrubuição Maxwell-Boltzmann que é dá uma informação dessa velocidade da seguinte forma

f v = 4 π v 2   m 2 π k T 3 / 2 e m v 2 / 2 k T

Onde v é a velocidade das moléculas. Temos que f v é normalizada, ou seja, vale que

∫ 0 ∞ f v d v = 1

E por isso (da equação 17-31), vale que

v m é d = ∫ 0 ∞ v f v d v

Como isso é válido, podemos calcular a velocidade media a partir de f v . Jogando f v na nossa integralzinha da velocidade média

v m é d = ∫ 0 ∞ v 4 π v 2   m 2 π k T 3 / 2 e m v 2 / 2 k T d v

Então o que precisamos fazer é calcular essa integral e assim chegar na velocidade média. Não se assusta com a função grande e feia no integrando hahaha A gente vai rearrumar, e com bastante cuidado, vamos conseguir integrar!

Passo 2

A primeira coisa a fazer quando a gente tem uma integral feia é tirar do integrando tudo o que é constante e está multiplcado por uma função de v . Nossa integral é em relação a v , certo? Então todas as outras letras são constantes.

Podemos fazer:

v m é d = ∫ 0 ∞ v 4 π v 2   m 2 π k T 3 / 2 e m v 2 / 2 k T d v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e m v 2 / 2 k T d v  

Percebe que esse termo que a gente tirou da integral estava em produto com a função e é formado só por letras diferentes de v .

v m é d = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e m v 2 / 2 k T d v

Passo 3

Essa integral que ficou é beeeem chatinha de resolver. Sorte nossa que o enunciado nos dá uma integral tabelada

∫ 0 ∞ v 3 e - a v 2 d v = 1 2 a 2   i

Olhando para a nossa integral, vemos que elas são bem parecidas. Para elas ficarem iguais, podemos substituir no integrando:

a = m 2 k T

A gente aqui só deu um outro nome para essa expressão de constantes, tá? Aí nossa integral fica:

v m é d = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e m v 2 / 2 k T d v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e m 2 k T v 2 d v

v m é d = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e a v 2 d v

Aí podemos substituir o resultado da integral que o enunciado deu i :

v m é d = 4 π m 2 π k T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e a v 2 d v = 4 π m 2 π k T 3 / 2 1 2 a 2

Passo 4

Lembrando que

a = m 2 k T

Isso nos dá:

v m é d = 4 π m 2 π k T 3 / 2 1 2 a 2

v m é d = 4 π m 2 π k T 3 / 2 1 2 m 2 k T 2

Rescrevendo

v m é d = 2 π m 2 π k T 3 / 2 2 k T m 2

Vamos abrir essas potências.

v m é d = 2 π m 3 2 2 3 2 π 3 2 k 3 2 T 3 2 2 2 k 2 T 2 m 2

Aí a gente usa propriedade de potência. Nos termos com a mesma base que estiverem em divisão, vamos fazer o expoente do que está no numerador menos o expoente de quem está no denominador

v m é d = 2 2 - 3 2 × π 1 - 3 2 × m 3 2 - 2 × k 2 - 3 2 × T 2 - 3 2 × 2

v m é d = 2 1 2 × π - 1 2 × m - 1 2 × k 1 2 × T 1 2 × 2

v m é d = 2 2 1 2 × k 1 2 × T 1 2 π 1 2 × m 1 2

v m é d = 2 2 k T π m 1 / 2 = 2 2 k T π m

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Resposta

v a v = 2 2 k T π m  

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