Dados três vetores não-coplanares A → ,   B → e C → , mostre que A → ⋅ ( B → × C → ) é o volume do paralelepipdo formado pelos três vetores

Passo 1

Nossa representação fica assim, olha só:

Pode parecer bem assustador no primeiro momento, mas calma!

Passo 2

O modulo de B → × C → é o seguinte:

B → × C → = B C s e n ( ϕ )

Mas,

C ⋅ B s e n ϕ = área da base do paralelograma formado por B → e C → .

Logo, o modulo do produto vetorial é a área da base!!

Passo 3

Agora vamos olhar para A → ⋅ B → × C → :

A → ⋅ B → × C → = A B → × C → cos ⁡ θ

Isto é:

A → ⋅ B → × C → = B → × C → ⋅ A cos ⁡ θ

E olharmos para A cos ⁡ θ , estamos pegando a altura com relação a “base” formada por B → e C → . Portanto, A cos ⁡ θ representa a altura!

Assim,

A → ⋅ B → × C → = á r e a   d a   b a s e ⋅ a l t u r a = V p a r a l e l e p i p e d o

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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