Demonstre a regra do produto (8.58).
Passo 1
O exercício pede para demonstramos a regra do produto (8.58):
Pela (8.52), podemo escrever para um operador
Fazendo esse operador agir sobre um estado , temos que
Agora agimos o operador
Com isso,
Passo 2
Podemos juntar todas as somas:
Agora você precisa lembrar uma coisa bem importante:
Lembre-se que o delta de Kronecker é um matador de somatórios. Com isso, podemos jogar fora a soma em fazendo a substituição :
Podemos colocar a soma em em destaque:
Vamos definir
Assim,
onde
Portanto, como
Fazendo as trocas e , obtemos a equação (8.58):
Resposta
Demonstração.