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Enunciado

Cálculo - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 6

Demonstre a regra do produto (8.58).

Passo 1

O exercício pede para demonstramos a regra do produto (8.58):

(hat A hat B)_i j = sum_(k = 1)^2 A_i k B_k j

Pela (8.52), podemo escrever para um operador

hat B = sum_(i = 1)^2 sum_(j = 1)^2 |(e_i⟩) B_i j (⟨e_j)|

Fazendo esse operador agir sobre um estado |(c⟩) , temos que

hat B |(c⟩) = sum_(i = 1)^2 sum_(j = 1)^2 |(e_i⟩) B_i j ⟨e_j,c⟩ = sum_(i = 1)^2 sum_(j = 1)^2 B_i j ⟨e_j,c⟩ |(e_i⟩)

Agora agimos o operador

hat A = sum_(l = 1)^2 sum_(k = 1)^2 |(e_l⟩) A_l k (⟨e_k)|

Com isso,

hat A hat B |(c⟩) = sum_(l = 1)^2 sum_(k = 1)^2 |(e_l⟩) A_l k (⟨e_k)| (sum_(i = 1)^2 sum_(j = 1)^2 B_i j ⟨e_j,c⟩ |(e_i⟩))

Passo 2

Podemos juntar todas as somas:

hat A hat B |(c⟩) = sum_(l = 1)^2 sum_(k = 1)^2 sum_(i = 1)^2 sum_(j = 1)^2 A_l k B_i j ⟨e_j,c⟩ ⟨e_k,e_i⟩ |(e_l⟩)

Agora você precisa lembrar uma coisa bem importante:

⟨e_k,e_i⟩ = delta_k i = {[[1 , s e k = i],[0 , s e k != i]])

Lembre-se que o delta de Kronecker é um matador de somatórios. Com isso, podemos jogar fora a soma em k fazendo a substituição k = i :

hat A hat B |(c⟩) = sum_(l = 1)^2 sum_(i = 1)^2 sum_(j = 1)^2 A_l i B_i j ⟨e_j,c⟩ |(e_l⟩)

Podemos colocar a soma em i em destaque:

hat A hat B |(c⟩) = sum_(l = 1)^2 sum_(j = 1)^2 (sum_(i = 1)^2 A_l i B_i j) ⟨e_j,c⟩ |(e_l⟩)

Vamos definir

hat T = hat A hat B

Assim,

hat T |(c⟩) = sum_(l = 1)^2 sum_(j = 1)^2 T_l j ⟨e_j,c⟩ |(e_l⟩) ,

onde

(hat T)_l j = T_l j = sum_(i = 1)^2 A_l i B_i j

Portanto, como hat T = hat A hat B

(hat A hat B)_l j = sum_(i = 1)^2 A_l i B_i j

Fazendo as trocas l -> i e i -> k , obtemos a equação (8.58):

(hat A hat B)_i j = sum_(k = 1)^2 A_i k B_k j

Resposta

Demonstração.

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