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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 26

(a) Suponha que A é uma matriz real n × n . Mostre que ( A x ,   y )   =   ( x ,   A T y ) , quaisquer que sejam os vetores x e y .

Sugestão: Você pode achar mais simples considerar primeiro o caso n   =   2 ; depois estenda o resultado para um valor arbitrário de n .

(b) Se A não for necessariamente real, mostre que ( A x ,   y )   =   ( x ,   A * y ) , quaisquer que sejam os vetores x e y .

(c) Se A for hermitiana, mostre que ( A x ,   y )   =   ( x ,   A y ) , quaisquer que sejam os vetores x e y .

Passo 1

(a) Temos uma matriz A e onde o elemento A situado na i -ésima linha e j -ésima coluna de a i j .

Consideraremos A uma matriz com valor real n × n . Tome B = A T , temos esse b i j = a i j .

Faremos os vetores x 1 = x 1 , … ,   x 2 e y = y 1 , … ,   y 2 .

Teremos que A x = ∑ k = 1 n a 1 k x k , … , ∑ k = 1 n a n k x k e A T y   =   B y = ∑ k = 1 n b 1 k y k , … , ∑ k = 1 n b n k y k = ∑ k = 1 n a 1 k y k , … , ∑ k = 1 n a n k y k .

Então:

A x , y = ∑ l = 1 n ∑ k = 1 n a l k x k y l - = ∑ l = 1 n ∑ k = 1 n a l k x k y l - = ∑ l = 1 n ( a l 1 x 1 y l - + … + a l n x n y l - )

E também:

x , A T y = ∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k y l - = ∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k y l - - =

∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k y l - - = ∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k   y l - - = ∑ k = 1 n ∑ l = 1 n x k a l k   y l - -

= ∑ l = 1 n a l 1 x 1 y l - + … + ∑ l = 1 n a l n x n y l - = ∑ l = 1 n ( a l 1 x 1 y l - + … + a l n x n y l - )

Onde teremos que

A x , y = ( x , A T y )

Passo 2

Considere A uma matriz não necessariamente real n × n . Tome B = A - T   , temos esse b i j = a i j .

Faremos os vetores x 1 = x 1 , … ,   x 2 e y = y 1 , … ,   y 2 .

Temos que A x = ∑ k = 1 n a 1 k x k , … , ∑ k = 1 n a n k x k e A * y   =   B y = ∑ k = 1 n b 1 k y k , … , ∑ k = 1 n b n k y k = ∑ k = 1 n a 1 k - y k , … , ∑ k = 1 n a n k - y k .

Então:

A x , y = ∑ l = 1 n ∑ k = 1 n a l k x k y l - = ∑ l = 1 n ∑ k = 1 n a l k x k y l - = ∑ l = 1 n ( a l 1 x 1 y l - + … + a l n x n y l - )

E também:

x , A * y = ∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k - y l - = ∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k - y l - =

∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k - -   y l k - = ∑ k = 1 n x k ∑ l = 1 n a l k   y l - - = ∑ k = 1 n ∑ l = 1 n x k a l k   y l -

= ∑ l = 1 n a l 1 x 1 y l - + … + ∑ l = 1 n a l n x n y l - = ∑ l = 1 n ( a l 1 x 1 y l - + … + a l n x n y l - )

Onde teremos que :

A x , y = ( x , A * y )

Passo 3

Pelo item ( b ) , temos ( A x ,   y )   =   ( x ,   A * y ) para quaisquer vetores x e y . Se A é hermitiano, temos que A = A * e então ( A x ,   y ) = ( x , A y ) para quaisquer vetores   x e y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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