Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 10

Mostre que

P θ ^ ,   P φ ^ = 0

se e somente se θ - φ = n π 2 , com n inteiro. Discuta a interpretação física desse resultado.

Passo 1

Para resolvermos, vamos basicamente sofrer expandindo essa relação, lembrando o que foi visto no 8.10, onde vemos que

P θ ^ ,   P φ ^ = P θ ^ P φ ^ - P φ ^ P θ ^

e que

P θ ^ = cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

P φ ^ = cos 2 ⁡ φ cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ sin ⁡ φ sin 2 ⁡ φ .

Passo 2

Bom, primeiramente temos que multiplicar as duas matrizes daquelas duas formas mostradas no passo 1. Depois vamos chorar um pouco, pois vão aparecer expressões bem chatas ;-;. Vamos lá! Primeiro vamos fazer P θ ^ P φ ^ .

P θ ^ P φ ^ = cos 2 ⁡ θ ⋅ sin 2 ⁡ φ + cos ⁡ θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ + sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos 2 ⁡ θ ⋅ sin 2 ⁡ φ + cos ⁡ θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ

Agora temos que multiplicar nosso P φ ^ P θ ^ . Vamos chegar que:

P φ ^ P θ ^ = cos 2 ⁡ θ ⋅ sin 2 ⁡ φ + cos ⁡ θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ + sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ ⋅ sin 2 ⁡ φ + cos ⁡ θ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ

Bom, agora que já temos nossas duas matrizes, precisamos “apenas” subtrair. Fazendo isso, vamos chegar que:

P θ ^ P φ ^ - P φ ^ P θ ^ = 0 cos 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ + sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ - cos 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ - cos 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ φ sin ⁡ φ + sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0

Colocando termos em evidencia, vamos ver que:

P θ ^ P φ ^ - P φ ^ P θ ^ = 0 cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin 2 ⁡ φ - cos 2 ⁡ φ + cos ⁡ φ sin ⁡ φ cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ φ - sin 2 ⁡ φ + cos ⁡ φ sin ⁡ φ sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ 0

Podemos ainda aplicar mais uma mudança: lembrando da identidade sin ⁡ 2 A = 2 cos ⁡ A sin ⁡ A , podemos escrever que:

P θ ^ P φ ^ - P φ ^ P θ ^ = 0 1 2 sin ⁡ 2 θ sin 2 ⁡ φ - cos 2 ⁡ φ + 1 2 sin ⁡ ( 2 φ ) cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ 1 2 sin ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ φ - sin 2 ⁡ φ + 1 2 sin ⁡ ( 2 φ ) sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ 0

Estamos quase, não vamos desistir agora! Vamos aplicar a condição pedida no enunciado. Se substituirmos θ = n π 2 + φ , vamos ter que:

= 0 1 2 sin ⁡ 2 n π 2 + φ sin 2 ⁡ φ - cos 2 ⁡ φ + 1 2 sin ⁡ ( 2 φ ) cos 2 ⁡ n π 2 + φ - sin 2 ⁡ n π 2 + φ 1 2 sin ⁡ 2 n π 2 + φ cos 2 ⁡ φ - sin 2 ⁡ φ + 1 2 sin ⁡ ( 2 φ ) sin 2 ⁡ n π 2 + φ - cos 2 ⁡ n π 2 + φ 0

Podemos abrir as identidades sin ⁡ n π + 2 φ = sin ⁡ n π cos ⁡ 2 φ + sin ⁡ 2 φ cos ⁡ n π , cos 2 ⁡ n π 2 + φ = sin 2 ⁡ n π 2 sin 2 ⁡ φ e sin 2 ⁡ n π 2 + φ = sin 2 ⁡ n π 2 cos 2 ⁡ φ . Substituindo, manipulando e colocando termos em evidencia, vamos ter que:

= 0 1 2 sin ⁡ 2 φ cos ⁡ n π sin 2 ⁡ φ - cos 2 ⁡ φ + 1 2 sin ⁡ ( 2 φ ) sin 2 ⁡ n π 2 sin 2 ⁡ φ - cos 2 ⁡ φ 1 2 sin ⁡ 2 φ cos ⁡ n π cos 2 ⁡ φ - sin 2 ⁡ φ + 1 2 sin ⁡ ( 2 φ ) sin 2 ⁡ n π 2 cos 2 ⁡ φ - sin 2 ⁡ φ 0

Analisando agora essa expressão, vamos ver que a mesma ira se anular totalmente quando n = 1 ,   3 ,   5 … , como o próprio enunciado pedia para demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que cada um dos vetores x 1 , … ,x m tem n componentes, em que nm . Mostre que x 1 , … ,x m são linearmente dependentes.
Em cada um dos Problemas 13 e 14, determine se os elementos do conjunto de vetores dados são linearmente independentes para – ∞ t ∞ . Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entr
Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 11 / 9 - 2 / 9 8 / 9 - 2 / 9 2 / 9 10 / 9 8 / 9 10 / 9 5 / 9
Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 3 2 4 2 0 2 4 2 3
Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 3 2 2 1 4 1 - 2 - 4 - 1