Um disco circular de material isolando, com raio R e espessura desprezível, está uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ e gira em torno do seu eixo, com velocidade angular ω . (a) Calcule o campo B → no centro do disco. (b) Calcule o momento de dipolo magnético m → associado à rotação do disco. Sugestão: Imagine o disco decomposto em faixas, tratando-as como correntes circulares.

Passo 1

Para resolvermos, vamos calcular a integral, como feito anteriormente no capítulo, agora para um disco como descrito acima. Vamos precisar nos lembrar que

σ = d q d s

e que

T = d q d i

Onde T é o período do disco, dado também por T = 2 π / ω . Vamos partir já de um valor conhecido para o campo, na qual no eixo z temos que

B 0 = μ 0 i 2 r

Passo 2

Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos partir do nosso valor inicial de campo. Assim, temos que a diferencial desse valor é dada por

d B 0 = μ 0 2 r d i ⋅ z →

onde, como dito no passo 1, d i = d q T = ω d q 2 π e d q = σ d s . Assim, ficamos que nossa diferencial da corrente é

d i = ω σ d s 2 π = ω σ 2 π r d r 2 π = ω σ r d r

Substituindo no nosso campo e integrande de 0 a R , teremos que

B = μ 0 2 ⋅ σ ω ⋅ ∫ 0 R d r = ω σ μ 0 2 R ⋅ z →

Passo 3

(b) Vamos calcular agora o momento de dipolo magnético. Temos que ele é dado por

m = i ⋅ A

Se tomarmos a diferencial do momento de dipolo, vamos ter que d m = d i ⋅ A e como já vimos, d i = ω σ r d r . Substituindo no momento, vamos ter

d m = ω σ r d r ⋅ A = ω σ r d r ⋅ π r 2 = ω σ π r 3 d r

Tomando a integral novamente de 0 até R , vamos ter que

m = ω σ π ⋅ ∫ 0 R r 3 d r = ω σ π ⋅ R 4 4

Resposta

  1. B = ω σ μ 0 2 ⋅ R ⋅ z →
  2. m = ω σ π ⋅ R 4 4
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