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Enunciado

Física - Randall D. Knight - Eletricidade e Magnetismo- Ed: 2º - Capítulo 29.Exercícios e Problemas - Ex. 84

Um disco circular de raio R, dotado de uma carga total Q, tem sua carga distribuída de maneira a resultar em uma densidade linear de carga dada pela função η = c r , onde c é uma constante. Obtenha uma expressão para o potencial elétrico criado a uma distância z sobre o eixo de simetria do disco. Sua expressão deve incluir R e Q, mas não c

Passo 1

Faaaala pessoal.

Imagine que uma linha está esticada dentro do disco carregado, queremos determinar o potencial elétrico ao longo dessa linha imaginária. Em vez de fazer isso com um disco, vamos começar apenas com a borda dele, como se fosse um anel.

Sendo r a o raio do anel e q a a carga deste anel. A distância do anel até a linha é

r a 2 + z 2

Vamos colocar isso na equação do potencial elétrico

V a = 1 4 π ε 0 q a r a 2 + z 2

Perceba que nosso disco foi dividido em vários anéis de tamanho Δ r

Se somarmos inúmeros anéis podemos chegar a um disco.

∑ V a = 1 4 π ε 0 ∑ a = 1 n q a r a 2 + z 2

V = 1 4 π ε 0 ∑ a = 1 n q a r a 2 + z 2

Vamos definir a carga em termos da densidade superficial de carga

q a = η ⋅ 2 π r ⋅ Δ r

Vamos substituir η

q a = c r a ⋅ 2 π r a ⋅ Δ r

q a = 2 π c r a 2 Δ r

Colocando isso no potencial elétrico

V = 1 4 π ε 0 ∑ a = 1 n 2 π c r a 2 Δ r r a 2 + z 2

Passo 2

Vamos integrar a expressão

V = 1 4 π ε 0 ∫ 0 R 2 π c r 2 Δ r r 2 + z 2

Colocando a constante do lado esquerdo

V = 2 π c 4 π ε 0   ∫ 0 R r 2 Δ r r 2 + z 2

Já está ficando com uma carinha melhor :)

Vamos simplificar o 2 π e desenvolver a integral

V = c 2 ε 0   1 2 r r 2 + z 2 - 1 2 l n r + r 2 + z 2 0 R

Ao colocar 1 2 em evidência e Substituir R

V = c 4 ε 0   R R 2 + z 2 + l n z R + R 2 + z 2

Passo 3

Ainda precisamos tirar o termo c

q a = 2 π c r a 2 Δ r

Integrando até R

Q = 2 π c R 3 3

E por fim, vamos isolar a constante e substituir na expressão do Passo 2

c = 3 Q 2 π R 3

V = 3 Q 8 π ε 0 R 3   R R 2 + z 2 + l n z R + R 2 + z 2

Resposta

V = 3 Q 8 π ε 0 R 3   R R 2 + z 2 + l n z R + R 2 + z 2

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