Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 24.Problemas Adicionais - Ex. 93
Uma casca esférica de carga e densidade volumétrica de cargas uniforme é limitada pelas superfícies e , com . Tomando no infinito, determine o potencial elétrico em função da distância em relação ao centro da casca, considerando as regiões (a) ; (b) ; (c) . (d) As soluções são compatíveis para e ? (Sugestão: veja a Seção 23-9.)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? 😉
Temos uma casca esférica com carga e densidade volumétrica de cargas uniforme . Essa casca é limitada pelas superfícies e , onde é maior que . Queremos determinar o potencial elétrico em função da distância em relação ao centro da casca para três regiões diferentes:
Região (a): :
Região (b): :
Região (c): :
Em resumo, temos diferentes expressões para o potencial elétrico em cada região da casca esférica, e essas soluções são válidas nos pontos específicos indicados.
Para calcular o potencial elétrico de uma casca esférica temos que aplicar a fomulinha
Veja só! 👀
Passo 2
(a) Para o campo é como o de uma carga puntiforme e o potencial é
onde o zero do potencial foi tomado no infinito.
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
(b) Para determinar o potencial no intervalo usamos a lei de Gauss para calcular o campo elétrico, integrando-o posteriormente ao longo de uma trajetória radial, de até . A melhor Gaussiana e uma superfície esférica concêntrica com a casca em questão. O campo é radial, normal a superfície, com magnitude uniforme sobre a superfície, de modo que o fluxo através da superfície é
O volume da casca é , de modo que e a densidade de carga é
Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raio é
A lei de Gauss fornece-nos
Onde obtemos a magnitude do campo elétrico:
Interessante... 🤔
Passo 4
Sendo o potencial elétrico na superfície externa da casca então o potencial a uma distância do centro e dado por
O valor da constante na superfície externa e encontrado substituindo-se na expressão para o potencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja, . Substituindo-se este valor na expressão acima e simplificando-a, obtemos
Como , o potencial pode ser escrito de uma maneira mais simples e elegante como
Bacana, não é? 😉
Passo 5
(c) O campo elétrico anula-se na cavidade, de modo que o potencial será sempre o mesmo em qualquer ponto da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de um ponto qualquer sobre a superfície interna da casca. Escolhendo-se no resultado do item (b) e simplificando, encontramos
Para responder o item (d), vamos lembrar que utilizamos essa propriedade para encontrar o potencial no item (c). Agora, podemos fazer r = r_2 e conferir os potenciais nos casos do item (a) e (b).
Ou seja, as soluções concordam para e para .
E aí! o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Sim