Um disco de plástico de raio R = 64,0 cm é carregado na face superior com uma densidade superficial de cargas uniforme u = 7,73   f C / m 2 e, em seguida, três quadrantes do disco são removidos. A Fig. abaixo mostra o quadrante remanescente. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P, que está no eixo central do disco original a uma distância D= 25,9 cm do centro do disco?

Passo 1

O enunciado nos passa uma informação bem importante: a carga no disco é uniforme. Isso significa que o potencial no ponto P produzido por esse quarto de disco é um quarto do potencial produzido pelo disco inteiro. Então, primeiramente, vamos calcular o potencial produzido por um disco inteiro.

Vamos pegar um anel de carga de raio r   e largura pequenininha d r . A área desse anelzinho é d A =   2 π r d r   e a carga é d q = σ d A ⇒ d q = 2 π r σ d r . Note que cada pedacinho desse anel está a uma distância r 2 + D 2   do ponto P. Então, o potencial que o anel produz no ponto P é:

d V = 1 4 π ϵ 0 2 π σ r d r r 2 + D 2 = σ r d r 2 ϵ 0 r 2 + D 2

Passo 2

Agora para saber o potencial do disco, basta integrar os infinitos anéis de r = 0   até r = R :

∫ 0 V d V = ∫ 0 R σ r d r 2 ϵ 0 r 2 + D 2 ⇒ V =   σ 2 ϵ 0 ∫ 0 R r d r r 2 + D 2 =   σ 2 ϵ 0 r 2 + D 2 ​ 0 R = σ 2 ϵ 0 R 2 + D 2 - D

Passo 3

Agora, basta dividir o potencial do disco por quatro para saber o potencial do disco V q e substituir os valores 😊:

V q = V 4 = σ 8 ϵ 0 R 2 + D 2 - D   = 7,73 × 10 - 15 C m 2 8 8,85 × 10 - 12 C 2 N . m 2 0,640   m 2 + 0,259   m 2 - 0,259   m = 4,71 × 10 - 5   V = 47,1   μ V

Resposta

V q = 4,71 × 10 - 5   V = 47,1   μ V

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