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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 77

Um disco uniforme fino possui massa M e raio R. Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um ponto situado a uma distância R/2 do centro do disco.

a) Calcule o momento de inércia do disco com o buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo centro original do disco. (Sugestão: Ache o momento de inércia do disco que foi retirado do disco maciço.)

b) Calcule o momento de inércia do disco com o buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo centro do buraco.

Passo 1

  1. Pela dica dada pelo exercício, o momento de inércia será dado por

    2. I = I w - I h

    onde os momentos escritos são os da roda e do furo, respectivamente, em relação ao eixo que passa pelo centro da roda. Agora, vamos considerar que o buraco tem um raio de R/4 portanto uma "massa" de m h = 1 4 2   m . Além disso, este furo está afastado R/2 do eixo, então teremos que aplicar o teorema dos eixos paralelos.

    Tudo isso incorporado com cuidado, obtemos

    I = 1 2 m R 2 - 1 2 ⋅ m 4 2 ⋅ R 4 2 + m 4 2 ⋅ R 2 2

    Isso, se formos cuidadosos e escrevermos tudo usando potências de dois, pode ser organizado como

    I = m R 2 1 2 - 1 2 ⋅ 4 4 - 1 4 2 ⋅ 2 2 = m R 2 1 2 - 1 2 9 - 1 2 6 = 2 2 - 1 - 2 3 2 9 m R 2

    I = 247 512 m R 2

    Passo 2

  2. Tendo confiado em nossa solução anterior, agora podemos usá-la e encontrar o novo momento de inércia usando novamente o teorema dos eixos paralelos, sabendo que o movimento agora será R/2. Além disso, vamos observar que a massa será

1 - 1 4 2 = 15 16   m

Aplicando o teorema, o novo momento de inércia será

I = 247 512 m R 2 + m 15 16 R 2 2

I = m R 2 247 512 + 15 16 4

I = 367 512 m R 2

Resposta

  1. I = 247 512 m R 2
  2. I = 367 512 m R 2

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