Calcule o momento de inércia de um cubo homogêneo de massa e aresta , em relação a um diâmetro (eixo que passa pelos centros de duas faces opostas).
Passo 1
Primeiro vamos fazer uma ilustração, olha só:
Para resolver essa questão vamos lembrar da teorema dos eixo perpendiculares. Como o cubo é simétrico, então . Logo,
Isto é,
Como colocamos em relação ao eixo z, esse é o momento de inércia que queremos achar.
Passo 2
Agora vamos ver como fica o . Temos que:
Onde e .
Vamos integrar do ponto da origem do eixo até a borda e multiplicamos por dois, pois tem o outro lado do cubo 😉.
Logo,
Assim,
Mas do passo 1, sabemos o seguinte: