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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 97

Um cilindro de massa M e raio R possui uma densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo, ρ = α r , onde α é uma constante positiva. a) Calcule o momento de inércia do cilindro em relação a um eixo longitudinal que passa através de seu centro em termos de M e de R . b) Sua resposta é maior ou menor do que o momento de inércia de um cilindro com mesma massa e mesmo raio, porém com densidade constante? Explique qualitativamente por que esse resultado faz sentido.

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema temos que calcular o momento de inercia de um cilindro de massa M e raio R e que possui uma densidade que cresce linearmente ρ = α r .

Parece complicado?

Para calcular o momento de inércia de qualquer corpo, devemos inicialmente lembrar da relação

I =   ∫ r 2 d m

Devemos nos atentar que para o primeiro caso a densidade não é constante e varia em ρ = α r .

Veja só!

Passo 2

Seja o cilindro de de massa igual a

d m = ρ ⋅ d V → d m = ρ ⋅ 2 π r d r L

d m = 2 π α L r 2   d r

Com isso temos que

I =   ∫ 0 R 2 π α L r 4   d r = 2 π α L R 5 5  

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para calcular a massa usaremos a relação incial ρ = α ⋅ d V , onde

M =   ∫ 0 R 2 π α L r 2   d r = 2 π α L R 3 3 → π α L R 3 = 3 M 2

Isso implica que, um cilindro de massa uniforme 3 M / 2 tera momento de inércia

I = 2 5 π α L R 3 R 2 = 2 5 3 M 2 R 2

I = 3 5 M R 2

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. I =   3 5 M R 2
  2. Para um cilindro de densidade uniforme I   =   ½   M R 2 a resposta em (a) é maior. Isso porque a densidade aumenta com a distância, logo temos mais massa longe do centro do que perto. Isso implica que a dificuldade pra girar o cilindro é maior.
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