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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 22.7 - Ex. 35

A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado de 0,600   m de raio o módulo do campo elétrico é igual à metade do módulo do campo no centro do disco?

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😉

Nesse problema queremos saber a distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado de 0,600   m de raio o módulo do campo elétrico é igual à metade do módulo do campo no centro do disco.

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

Para essa questão, temos que saber a fórmula de cálculo do campo elétrico de um disco de raio R a uma distância z   dele. Você lembra? Essa fórmula está na eq. 22-26 do livro e também aqui embaixo:

E = σ 2 ϵ 0 1 - z z 2 + R 2  

Em que:

  • σ   é a densidade superficial de cargas;
  • z é a distância no eixo do disco;
  • R é o raio do disco.

Veja a imagem abaixo:

Veja só! 😁

Passo 2

O campo elétrico no centro do disca ( z = 0 ) é

E C = σ 2 ϵ 0 1 - 0 0 2 + R 2  

E C = σ 2 ϵ 0 1 - 0

E C = σ 2 ϵ 0

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Desejamos achar um ponto z em que o módulo do campo elétrico seja igual à metade do módulo do campo no centro do disco isto é:

E = 1 2 E C

Temos:

E = 1 2 σ 2 ϵ 0

E =   σ 4 ϵ 0

Substituindo E pela fórmula geral que usamos no passo 1:

σ 2 ϵ 0 1 - z z 2 + R 2   = σ 4 ϵ 0

Vamos cancelar a densidade linear de carga σ que temos dos dois lados:

1 2 ϵ 0 1 - z z 2 + R 2   = 1 4 ϵ 0

Multiplicando os dois lados por 2 ϵ 0 :

1 - z z 2 + R 2   = 1 2

Agora vamos passar a expressão que contem z só para um lado

    1 - 1 2 = z z 2 + R 2  

z z 2 + R 2   = 1 2

2 z =   z 2 + R 2  

Elevando os dois lados ao quadrado:

4 z 2 = z 2 + R 2

3 z 2 = R 2

Tirando a raiz quadrada dos dois lados da equação:

z = R 3

Substituindo o valor de R = 0,600 m :

z = 0,600 m 3

z = 0,346   m

E aí! tudo tranquilo? Responde Aí! 😁

Resposta

z = 0,346   m

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