Uma distribuição de cargas esfericamente simétricas, porém não uniformes, possui uma densidade dada por:

Em que é uma constante positiva. Calcule a carga total contida na distribuição de cargas. Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região . Determine uma expressão para o campo elétrico na região . Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância . Encontre o ponto para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Agora, para a região , consideramos uma superfície gaussiana com esse raio. Usando a lei de Gauss para ela, temos:

Como a superfície em questão é esférica:

Já que não há carga no interior da superfície, não há fluxo elétrico pela região e o campo elétrico é nulo.

Da mesma forma, para a região , aplicamos a lei de Gauss para uma superfície gaussiana com esse raio. Logo:

No entanto, para essa região, a densidade de carga não é distribuída uniformemente.

Assim, devemos calcular a carga total envolvida pela superfície utilizando um elemento diferencial de carga em função dessa densidade, tal que:

Onde o volume desse elemento diferencial possui uma área esférica de raio , mas menor do que a superfície gaussiana, e uma espessura :

Assim, a carga total será dada pela integração dessa equação:

Então:

Logo:

Portanto, como o campo elétrico é dado pela lei de Gauss:

Substituindo o valor da carga total envolvida:

Ou seja:

O gráfico do campo elétrico em função de pode ser dado por:

Para determinar o ponto máximo do campo elétrico, podemos utilizar um método de Cálculo , no qual derivamos a equação do campo e igualamos o resultado a zero para descobrir o valor de em que isso ocorre. Dessa forma:

Isolando a variável de interesse:

Portanto, o campo elétrico nesse ponto tem o valor:

Então: