Uma placa carregada de forma não uniforme. Repita o Problema , porém agora supondo que a densidade de carga da placa seja dada por , onde é uma constante positiva.

Precisamos lembrar agora que a lei de Gauss é dada por:

E utilizá-la pra descobrir o campo elétrico no espaço inteiro.

Como a densidade de carga volumétrica não é distribuída de forma uniforme, devemos utilizar um elemento diferencial de carga para, ao integrar, encontrar o valor total da carga em toda a região.

Em primeiro lugar, consideremos a região no interior da barra, onde .

Deixando a carga em função da densidade volumétrica de carga, ela terá a forma:

Considerando uma superfície gaussiana com o volume dado pela sua área de face e espessura , pegamos um elemento muito pequeno dessa superfície que possua a mesma área , mas espessura :

Visto que o elemento possui espessura , concluímos que ele terá campos elétricos agindo em ambas as suas faces.

Então, a carga total envolvida por essa superfície será:

Note que e são as extremidades da superfície gaussiana.

Logo:

Substituindo na lei de Gauss, o campo elétrico é:

Como a constante da densidade volumétrica, , é positiva, independente do valor de o campo elétrico também será “positivo”, ou seja, irá fluir para fora do centro, ou ainda:

Agora, para , considerando uma superfície superfície gaussiana também de área de face , mas espessura maior que , a carga total envolvida por essa superfície será dada supondo um pequeno elemento que contenha a mesma área de face da superfície, porém espessura (análogo ao passo anterior):

Lembre-se que e são as extremidades da placa!!

Logo:

Substituindo na lei de Gauss, o campo elétrico é:

Da mesma forma, pela constante ser positiva, o campo elétrico será “positivo” e irá fluir para fora do centro e pode ser reescrito como: