Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 24.9 - Ex. 32
Uma distribuição linear de cargas não uniforme dada por , onde é uma constante, está situada no eixo x, entre e . Se e no infinito, determine o potencial elétrico (a) na origem; (b) no ponto do eixo y.
Passo 1
Primeiramente, devemos pegar um pedacinho bem pequeno dessa distribuição linear de tamanho . Para fazer essa questão, devemos lembrar da fórmula de potencial produzido por um pedacinho bem pequeno (infinitesimal), que é:
Em que é a distância do pedacinho até o ponto de interesse e é a carga desse pedacinho pequeno infinitesimal e que encontraremos pra utilizar nos cálculos do potencial. Como a distribuição linear é uniforme, podemos fazer
Em que é a distribuição linear, é a carga total e é o comprimento que está no eixo . Assim, derivando essa equação aí temos:
Como então:
No intervalo .
Agora que nós temos tudo que é necessário pra fazer a integração vamos partir pra avaliar cada um dos casos pedidos no enunciado e encontrar o potencial para ambos os casos.
Passo 2
Item (a)
Vamos integrar a equação do potencial substituindo o nosso valor de encontrado.
Nesse caso, a distância entre o ponto em que estamos calculando e a origem é , isto é, devemos substituir na fórmula do potencial integrar de até como diz o enunciado:
Passo 3
Item (b)
O mesmo caso do item a, mas o que muda aqui é a distância Nesse caso, a distância é a hipotenusa do triângulo criado, que é então: