Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 65
Dois alto-falantes idênticos A e B estão separados por uma distância de 2,00 m. Os alto-falantes são alimentados por um mesmo amplificador e produzem ondas sonoras com frequência igual a 784 Hz. Considere a velocidade do som no ar igual a 344 m/s. Um pequeno microfone se afasta do ponto B ao longo de uma linha perpendicular à reta que une o ponto B com o ponto A (reta BC indicada na Figura P16.65). (a) A que distâncias do ponto B haverá interferência destrutiva? (b) A que distâncias do ponto B haverá interferência construtiva? (c) Quando a frequência é suficientemente baixa, não existe nenhum ponto da reta BC com interferência destrutiva. Qual é a frequência mais baixa para que isso ocorra?
Passo 1
Fala galera, bora lá!
(a) Interferência destrutiva ocorre quando a diferença das distâncias de cada alto falante for equivalente à um múltiplo semi-inteiro do comprimento da onda sonora, isso pode ser expressado da seguinte maneira:
Sabendo que a frequência dos alto falantes é 784 Hz e a velocidade do som é de 344 m/s, obtemos a relação:
Passo 2
Como a diferença entre as distâncias pode ser dada por:
Aplicando a relação encontrada anteriormente para a diferença entre as distâncias, obtemos:
Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, é possível encontrar que:
Passo 3
Isolando o valor de , finalmente concluímos que os valores em que ocorre a interferência destrutiva é aquele que é válida a relação:
Para valores de ímpares.
Passo 4
(b) Interferência construtiva ocorre quando a diferença das distâncias de cada alto falante for equivalente à um múltiplo do comprimento da onda sonora, isso pode ser expressado da seguinte maneira:
Sabendo que a frequência dos alto falantes é de 784 Hz e a velocidade do som é de 344 m/s, obtemos a relação:
Passo 5
Agora, para determinar a distância de cada alto falante, precisamos utilizar o teorema de Pítagoras. Se considerarmos que a distância entre o alto falante B e o ponto à ser analisado vale , então a distância entre o alto falante A e o ponto à ser analisado vale:
Passo 6
Então a diferença entre as distâncias pode ser dada por:
Aplicando a relação encontrada anteriormente para a diferença entre as distâncias, obtemos:
Se elevarmos ambos os lados ao quadrado, é possível encontrar que:
Passo 7
Isolando o valor de , finalmente concluimos os valores em que ocorre interferência construtiva são aqueles que satisfazem a relação:
Passo 8
(c) A equação para encontrar as localizações das interferências destrutivas, sem substituir o valor do comprimento de onda previamente é escrita da forma:
Passo 9
Então, se estivermos no caso , não temos posições no eixo positivo onde ocorre a interferência destrutiva, considerando então o menor valor possível com , temos que o comprimento de onda será:
Com isso, a menor frequência possível será:
Passo 10
Considerando a velocidade do som equivalente à 344 m/s, concluindo, a menor frequência para que ocorra a interferência destrutiva será aquela em que a frequência dos alto falantes vale