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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 13

Dois cilindros maciços, feitos dos materiais A e B, têm o mesmo comprimento; seus diâmetros estão relacionados por d A   =   2 d B . Quando a mesma diferença de temperatura é mantida entre as extremidades dos cilindros, eles conduzem calor com a mesma taxa. As condutividades deles estão, portanto, relacionadas por:

  1. k A   = k B 4 ;
  2. k A   = k B 2 ;
  3. k A   = k B ;
  4. k A   = 2 k B ;
  5. k A   = 4 k B .

Passo 1

Olá! Então, temos dois cilindros maciços feitos de materiais diferentes e o enunciado pede para gente comparar as condutividades térmicas k deles.

Para ajudar, ele fala sobre comprimento L dos cilindros, diferença de temperatura entre suas extremidades Δ T e o diâmetro d deles. E uma última coisa que ele menciona é a taxa de transferência I de calor.

Temos uma expressão para a diferença de temperatura Δ T   em função de quase todas as outras grandezas mencionadas no enunciado. É essa expressão aqui:

Δ T = I Δ x k A

Sendo que Δ x é a distância entre as extremidades do corpo, que a gente pode interpretar como o comprimento L dos cilindros

Δ T = I L k A

E A é a área da seção transversal do cilindro.

A ideia é a gente usar essa fórmulinha e as informações do enunciado para achar uma relação entre k para esses dois cilindros. Vamos!

Passo 2

Vamos escrever a expressão de Δ T para cada cilindro:

Δ T = I L k A

Δ T A = I A L A k A A A

Δ T B = I B L B k B A B

Agora vamos comparar essas duas belezinhas a partir das informações que o enunciado dá. O problema nos disse que mesma diferença de temperatura é mantida entre as extremidades dos cilindros, ou seja,

Δ T A = Δ T B

Substituindo nossas duas expressões:

I A L A k A A A = I B L B k B A B

O enunciado diz também que eles conduzem calor com a mesma taxa e tem o mesmo comprimento, então podemos dizer que

I A = I B

L A = L B

Substituindo na nossa expressão e simplificando:

I B L B k A A A = I B L B k B A B

1 k A A A = 1 k B A B

k A A A = k B A B

Já achamos uma relação bem mais simples, não é?! Vamos guardar esta informação.

Passo 3

Vamos focar na área porque o enunciado não nos dá uma informação para ela diretamente. Como calculamos a área para a seção circular?

A = π R ²

Lembrando que:

R = d 2

Então área será:

A = π d 2 4

Vamos escrever então a área para os nossos cilindros:

A A = π d A 2 4

A B = π d B 2 4

Substituindo na nossa expressão do passo anterior

k A A A = k B A B

k A π d A 2 4 = k B π d B 2 4

Passo 4

Mas lembra que o enunciado disse que os diâmetros dos cilindros se relacionam assim:

d A   =   2 d B

Substituindo na expressão do passo anterior

k A π d A 2 4 = k B π d B 2 4

k A π 2 d B 2 4 = k B π d B 2 4

Simplificando

k A 2 d B 2 = k B d B 2

4 k A d B 2 = k B d B 2

4 k A = k B

Sendo assim:

k A = k B 4

Resposta

L e t r a   A !

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