Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 91
Um relógio de pêndulo marca a hora certa na superfície da Terra. Em qual caso o erro será maior: se o relógio for levado para uma mina de profundidade , ou se ele for levantado até uma altura ? Prove sua resposta e suponha .
Passo 1
Falaaa! O erro no relógio ocorre quando o seu período do pêndulo muda, aí ele marca a hora errado. Vamos relembrar a expressão do período de um pêndulo simples:
Percebe que é uma característica geométrica do pêndulo. Então o que pode variar quando a gente muda de posição em relação ao centro da Terra (como o enunciado descreve) é o campo gravitacional .
Então o que a gente precisa ver é que situação vai me dar um mais diferente do na superfície da Terra, a situação onde a gente está dentro da Terra ou fora dela.
Considerando que a Terra é uma esfera homogênea, o campo gravitacional em um ponto distante do seu centro é
A massa é a massa da porção da Terra que está abaixo da altitude do relógio.
Passo 2
Vamos ver como se comporta a aceleração da gravidade conforme a profundidade do relógio varia. Na superfície da Terra, a distância é o próprio raio da Terra. Vamos chamar a aceleração da gravidade de :
A massa da esfera que temos abaixo dessa altitude é a própria massa da Terra, por isso :
Já para quando estamos a uma altitude de em relação a superfície da Terra, temos . Mas repara que a massa de Terra abaixo dessa altitude não se altera, continua sendo , a massa total da Terra
Para a situação onde estamos a uma profundidade , teremos que . Mas aqui, a porção de massa abaixo dessa altitude muda, porque estamos dentro da Terra. Então fica sendo a massa da esfera que tem a mesma massa específica da Terra, mas com raio menor.
Passo 3
Lembra que queremos comparar e com . Então vamos escrever e em função da massa específica da Terra que vamos considerar constante.
Temos que
Sendo que temos uma esfera, logo
Logo
E para usamos a mesma massa específica, mas o raio agora é porque estamos dentro da Terra
Então nossas gravidades ficam
Agora é comparar para ver quem é mais diferente de .
Passo 4
Então vamos começar com a aceleração da gravidade quando o relógio desce por uma distância :
E vamos calcular a seguinte razão:
Isso é para achar que parcela de , representa.
Agora vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora vamos analisar o caso em que o relógio é elevado por :
Fazendo a razão para encontrar que parcela de , representa
Passo 6
Ok, agora vamos comparar os dois resultados:
Quando maior for o desvio da nova aceleração da gravidade em relação a para um mesmo , maior será o erro.
Olhando para as equações, é podemos ver que esse desvio será maior no caso de , que depende do quadrado de . Então o erro é maior no caso em que a o relógio é elevado.
Você também pode testar isso chutando um valor para . Temos que é uma profundidade, então com certeza ela é menor que . Sendo assim podemos dizer que
Aí se a gente chutar que
Nossas expressões ficam
Percebe que a maior diferença acontece em mesmo, como a gente pensou antes.
Resposta
O erro será maior se o relógio for levantado até uma altura .