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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 13

Duas esferas metálicas concêntricas, de raios r 1 e r 2 > r 1 , são mantidas respectivamente às temperaturas T 1 e T 2 , e estão separadas por uma camada de material homogêneo de condutividade térmica k . Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de tempo através dessa camada. Sugestão: Considere uma superfície esférica concêntrica intermediária de raio r ( r 1 < r < r 2 ) e escreva a lei de condução do calor através dessa superfície . Integre depois em relação a r , de r = r 1 até r = r 2 .

Passo 1

A ideia aqui é a seguinte: nós vamos calcular a taxa Φ de transferência de calor por uma casca esférica de raio r e espessura d r .

A diferença de temperatura entre as faces dessa casca esférica é d T , então:

Φ = k A d T d r

E a área de superfície é A = 4 π r 2 , então:

Φ = k 4 π r 2 d T d r

Essa taxa de transferência de calor deve ser a mesma em todos os pontos da esfera (seja para uma casca ou para uma camada).

Essa é uma equação diferencial separável que nós podemos resolver para encontrar Φ .

Passo 2

Começamos separando as variáveis:

Φ d r r 2 = 4 π k   d T

E agora vamos integrar quando r varia de r 1 até r 2 e T varia de T 1 até T 2 :

Φ ∫ r 1 r 2 d r r 2 = 4 π k ∫ T 1 T 2 d T

Agora é só resolver as integrais:

Φ   - 1 r r 2 r 1 = 4 π k T 2 - T 1

Φ 1 r 1 - 1 r 2 = 4 π k T 2 - T 1

E simplificando um pouco:

Φ r 2 - r 1 r 1 r 2 = 4 π k T 2 - T 1

Então:

Φ = 4 π k T 2 - T 1   r 1 r 2 r 2 - r 1

Resposta

A lei de condução de calor poro unidade de tempo é Φ = 4 π k T 2 - T 1   r 1 r 2 r 2 - r 1 .

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