Dois fios longos iguais, de raio a = 1,53m m , são paralelos e conduzem correntes iguais em sentidos opostos. A distância entre os eixos centrais dos fios é d = 14,2c m . Despreze o fluxo no interior dos fios, mas considere o fluxo na região entre os fios. Qual é a indutância dos fios por unidade de comprimento?

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 30.7 - Ex. 43

Dois fios longos iguais, de raio , são paralelos e conduzem correntes iguais em sentidos opostos. A distância entre os eixos centrais dos fios é . Despreze o fluxo no interior dos fios, mas considere o fluxo na região entre os fios. Qual é a indutância dos fios por unidade de comprimento?

Passo 1

O problema diz que dois fios muito longos (vamos aproximar por fios infinitos) conduzem uma corrente em sentidos contrários. Vamos posicionar o fio com corrente para baixo no eixo e o outro fio (corrente para cima) com seu eixo na reta . O raio dos fios é denotado por .

Queremos o fluxo por unidade de comprimento na região entre os fios . Para isso, vamos considerar a região retangular (em vermelho) com base e altura . O fluxo nessa região:

representa a soma do campo devido aos dois fios. Como o fio da esquerda tem corrente para baixo e o da direita para cima, os campos gerados entre os fios terão mesmo sentido (para fora da figura, isto é, na direção positiva). Desta forma, os campos se somam:

Por fim, uma última simplificação que podemos fazer: note que há uma simetria com relação à reta . O fluxo de até é igual ao fluxo de até (pense bem nisso antes de aceitar viu?). Assim,

Passo 2

Note que entre e , o campo magnético criado pelo fio 1 (fio da esquerda com corrente para baixo) é diferente para (dentro do fio) e para (fora do fio). Dentro do fio, o campo magnético cresce linearmente com :

Já fora do fio, temos à expressão clássica:

Essas expressões foram todas deduzidas e trabalhadas no capítulo 29. Já para o fio 2 (da direita com corrente para cima):

Assim, o fluxo será

Mas antes de calcularmos essas integrais, lembre-se que devemos desconsiderar o fluxo dentro dos fios. Assim, a primeira integral deve ser desconsiderada e na última, o limite inferior de integração será (não ). Assim,

Fazendo as integrações:

Desta forma, o fluxo por unidade de comprimento entre os fios será:

Passo 3

Sabemos que a indutância é definida por

Assim, a indutância por unidade de comprimento dos fios será

Substituindo e , chegamos em

Resposta

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