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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 25.1 - Ex. 117

Duas baterias com fems ε 1 e ε 2 e resistências internas r 1 e r 2 , estão conectadas em paralelo. Prove que, se um resistor de resistência R é conectado em paralelo ecom a combinação, a resistência ótima (o valor de R para o qual a potência entregue é máxima) é dada por

R = r 1 r 2 ( r 1 + r 2 )

Passo 1

Meus queridos!

Vamos aplicar a lei de Kirchoff:

I 1 + I 2 = I 3

E, em seguida, a lei de voltagem fora do circuito:

ε 1 - I 3 R - r 1 I 1 = 0 ; E q . 1

Agora a lei de voltagem em relação a primeira equação:

ε 2 - I 3 R - r 2 I 2 = 0 ; E q . 2

Onde:

ε 2 - I 3 R r 2 = I 2

Com isso, relacionando ambas as equações, encontramos que:

ε 1 - I 3 R - r 1 I 3 - I 2 = 0 ; E q . 3

Agora, substituindo a relação de I 2 encontrada:

ε 1 - I 3 R - r 1 I 3 - ε 2 - I 3 R r 2

Então:

I 3 = ε 1 r 2 + ε 2 r 1 r 1 r 2 + R ( r 1 + r 2 )

Passo 2

Feito isso, agora vamos encontrar a equação da potência:

P = I 3 2 R = ε 1 r 2 + ε 2 r 1 r 1 r 2 + R ( r 1 + r 2 ) 2 ∙ R

Sendo:

R = R R + A 2

P = ε 1 r 2 + ε 2 r 1 r 1 + r 2 2 ∙ R R + A 2

Onde:

A = r 1 r 2 r 1 + r 2

Queremos encontrar R para que a potência seja máxima, logo:

d P d R = d d R ε 1 r 2 + ε 2 r 1 r 1 + r 2 2 ∙ R R + A 2 = 0

d d R R R + A 2 = 0

R + A 2 - 2 R ( R + A ) R + A 4 = 0

Encontraremos que:

R = A = r 1 r 2 r 1 + r 2

Para checar se esse valor encontrado para R é o máximo, precisamos checar se a segunda derivada é negativa!

d 2 P d R 2 = d d R R + A 2 - 2 R R + A R + A 4 = 2 R - 4 A R + A 4

Sendo R=A:

d 2 P d R 2 = - 2 A R + A 4

Como:

R + A 4 > 0   e - 2 A < 0

Então:

d 2 P d R 2 < 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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