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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 21.1 - Ex. 50

Duas cargas puntiformes positivas + q estão no eixo y em y = + a e y = - a . Uma esfera de massa m e carga - q possui um furo por onde passa um fio. Ela desliza sem atrito ao longo do fio estivado, paralelo ao eixo x . Seja x a posição da esfera. (a) Mostre que, para x ≪ a , uma força restauradora linear é exercida sobre a esfera (uma força que é proporcional a x e dirigida para a posição de equilíbrio em x = 0 ) e, portanto, a esfera executa movimento harmônico simples. (b) Determine o período do movimento.

Passo 1

  1. Observação: Há um erro no enunciado; a esfera deveria ter carga - q !! Caso fosse + q , o movimento não seria harmônico simples.

    2. Considerando a carga da esfera igual a - q , então temos o seguinte esquema:

    Veja que, pela simetria, a força irá apontar no eixo x . Como

    F 1 = F 2 = k q 2 d 2

    onde

    d = x 2 + a 2

    E

    cos ⁡ θ = x d

    Sendo assim, segue que

    F r = 2 F 1 cos ⁡ θ = 2 k q 2 d 2 ⋅ x d F r = 2 k q 2 d 3 x

    Passo 2

    Como x ≪ a , segue que

    d = x 2 + a 2 ≈ a

    pois x 2 + a 2 ≈ a 2 . Logo,

    F r = 2 k q 2 a 3 x

    Passo 3

  2. Lembrando que se temos um MHS do tipo F = K x , então seu período será:

T = 2 π m / K

no nosso caso, nossa “constante elástica”, será 2 k q 2 / a 3 . Logo,

T = 2 π m 2 k q 2 / a 3 T = 2 π m a 3 2 k q 2

Resposta

  1. Demonstração
  2. T = 2 π m a 3 / 2 k q 2
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