Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 46
Duas cordas muito longas são amarradas no ponto . Na região , a velocidade da onda é , enquanto na região , a velocidade é . Uma onda sinusoidal é incidente no nó da esquerda (); parte da onda é refletida e parte é transmitida. Para , o deslocamento da onda é descrito por enquanto que para , onde e . (a) Se assumirmos que a função de onda y e sua primeira derivada espacial devem ser contínuas em , mostre que e que . (b) Mostre que
Passo 1
(a) Temos aqui uma questãozinha de demonstração. A gente vai precisar usar muita criatividade e persistência, tá bem? Com isso vamos conseguir!
Bom, precisamos mostrar as duas relações em termos de duas equações de onda diferentes que vamos chamar de para e para .
Essas duas funções devem ser iguais em porque se não fossem, a função seria descontinua, e as cordas não estariam amarradas:
Que fica:
Como a função seno é ímpar, , nossa equação fica:
Cortando os senos:
Passo 2
Agora fazendo a derivada com relação das duas equações, aplicando e igualando elas (já que o enunciado diz que as derivadas são contínuas nesse ponto, que é o de interseção das cordas):
Ficamos com:
Como os cossenos são funções pares , ficamos com:
Cortando os cossenos:
Passo 3
Temos essas duas relações
Vamos deixar elas mais parecidas, pegando a equação que encontramos no passo 1 e multiplicando por :
E adicionamos à equação do passo 2:
C então será:
Passo 4
O enunciado disse que
A razão C/A fica:
Pois os das duas ondas são iguais.
Achamos uma das relações!
Passo 5
E a outra relação podemos achar substituindo esse resultado na equação do passo 1:
Vamos isolar da equação do passo anterior
Substituindo isso em
Dividindo tudo por A, ficamos com:
Essa era a segunda!
Passo 6
(b) Falta só a gente provar a terceira. Aqui vamos fazer algo diferente. Em vez de chegar na equação, vamos provar que sua igualdade é verdadeira. Como? Substituindo as expressões que a gente tem nela:
Vamos lembrar das expressões que a gente acabou de provar e isolar em uma e na outra, deixando essas letrinhas em função de :
Substituindo isso na expressão que queremos provar
Agora é força e fé para fazer aparecer um 1 do lado esquerdo e assim provaremos essa igualdade.
Passo 7
Calma, tá quase acabando. A gente pode abrir os produtos notáveis do numerador
Juntando a galera
Repara que no denominador apareceu um produto notável do tipo , com e . Logo
Substituindo isso na nossa equação
Ufaaa! Conseguimos provar que essa igualdade é verdadeira. Arrasamos! 😊
Resposta
Demonstração nos passos