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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 34

(a) Calcule a derivada em relação à temperatura absoluta da rapidez do som no ar e mostre que as diferenciais d v e d T satisfazem a d v v = 1 2 d T T . (b) Use este resultado para estimar a variação percentual da rapidez do som quando a temperatura varia de 0 °   C para 27   °   C . (c) Se a rapidez do som é 331   m / s a 0 °   C , estime seu valor a 27 °   C usando a aproximação diferencial. (d) Como se compara esta aproximação com o resultado de um cáculo exato?

Passo 1

Primeiro vamos relacionar a velocidade com a temperatura e depois fazer essa derivada que ele ta falando. Se liga só:

v = γ R T M

Derivando,

d v d T = 1 2 ⋅ 1 γ R T M ⋅ γ R M

Como queremos mostrar que d v v = 1 2 d T T . Podemos fazer d v / v olhá só:

d v v = 1 v ⋅ 1 2 ⋅ 1 γ R T M ⋅ γ R M d T

Usando que v = γ R T M :

d v v = 1 2 ⋅ 1 γ R T M ⋅ γ R M d T

Portanto,

d v v = 1 2 ⋅ d T T

Passo 2

(b) Nesse item vamos usar aproximação diferencial, logo

d v v = 1 2 ⋅ d T T →   Δ v v = 1 2 Δ T T

Assim,

Δ T = 300   K - 273   K = 27   K

Substituindo os valores, temos:

Δ v v = 1 2 ⋅ Δ T T = 1 2 ⋅ 27   K 273   K

Fazendo as contas:

Δ v v ≅ 5 %

Para o item (c), as coisas ficam assim ó:

Δ v = v 300 k - v 273 k

Do item anterior a gente sabe o seguinte:

Δ v v 273 k = 0,05 → v 300 k - v 273 k = 0,05 ⋅   v 273 k

Logo,

v 300 K = 1,05 ⋅   v 273 k

Substituindo os valores:

v 300 K = 1,05 ⋅ 331 m s ≅ 347 m s

Passo 3

Por último, vamos achar o valor exato de Δ T :

v 273 K = γ R T 273 K M ;   v 300 K = γ R T 300 K M

Divindo, temos:

v 273 K v 300 K = T 273 K T 300 K →     v 300 K = v 273 K T 300 K T 273 K

Portanto,

v 300 K = 331 m s ⋅ 300 273 ≅ 347 m s

Comparando as velocidades, vemos que os resultados são iguais!

Resposta

  1. v 300 K ≅ 347 m s
  2. v 300 K ≅ 347 m s
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