Tempo necessário para um lago congelar.

a) Quando a temperatura do ar é , a água da superfície de um lago congela e froma uma camada de gelo. Por que o gelo não se forma no volume total do lago?

b) Mostre que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional a raiz quadrada do tempo, se o calor de fusão da água que se congela abaixo da camada de gelo sofrer condução através dessa camada.

c) Supoha que a superfície exterior da camada de gelo esteja a , calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de .

d) Caso o lago na parte (c) tenha uma profundidade de , quanto tempo seria necessário para que ocorresse o congelamento do volume total do lago? Seria provável que isso ocorresse?

b) Vamos considerar uma seção de gelo com área A. No momento temos que esse gelo terá uma espessura . Em um dado intervalo de tempo teremos e a espessura que congela nesse instante é . A massa que congela nesse intervalo de tempo é .

O calor que deve fluir da água para o ambiente fazendo com que a água congele é:

Sabemos que a condução de calor é dada por:

Então todo o calor conduzido no tempo por toda a espessura que já existe é:

onde é a temperatura quente e é a temperatura fria.

Agora podemos integrar ambos os lados.

Calculando a integral temos:

Isolando :

Desta forma temos que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional a raiz quadrada do tempo.

c) Nesta parte precisamos isolar o tempo na equação que encontramos no item (b) e substituir os valores que já possuímos.

d) Temos que é proporcional a logo não precisamos fazer todo o calculo novamente, basta já usarmos o resultado do item (c).

Como o clima tem bastante variações para essa quantidade de tempo não seria possível.