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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 21.1 - Ex. 83

Duas partículas puntiformes positivas iguais, Q , estão no eixo x em x = - 1 2 a e x = 1 2 a . (a) Obtenha uma expressão para o campo elétrico no eixo y como função de y . (b) Uma partícula de massa m e carga q move-se ao longo do eixo y em um fio estivado sem atrito. Determine a força elétrica exercida na partícula em função de y e determine o sinal de q tal que esta força sempre aponte no sentido que se afaste da origem. (c) A partícula está inicialmente em repouso na origem. Se ela receber um pequeno cutucão na direção + y , qual a rapidez da partícula no instante que a força resultante sobre ela for máxima? (Despreze quaisquer efeitos devidos à gravidade).

Passo 1

  1. Veja o esquema a seguir:

    2. Temos que

    E 1 = E 2 = k Q a / 2 2 + y 2

    Assim, o campo resultante será:

    E = E 1 cos ⁡ θ + E 1 cos ⁡ θ = 2 E 1 cos ⁡ θ E = 2 k Q a 2 4 + y 2 ⋅ y a 2 4 + y 2 1 / 2 = 16 k Q y a 2 + 4 y 2 3 / 2

    Passo 2

  2. Temos que

    3. F = q E = 16 k Q q y a 2 + 4 y 2 3 / 2

    Para que essa força sempre aponte para a origem, essa carga deve ser negativa (pois a força apontará no sentido contrário ao do campo).

    Passo 3

  3. Usando o teorema da energia cinética, temos que

Δ K = W

onde o trabalho é o trabalho da força F . Temos:

W = ∫ 0 y m á x 16 k Q q y   d y a 2 + 4 y 2 3 / 2 = 16 k Q q ∫ 0 y m á x y a 2 + 4 y 2 3 / 2 d y

Fazendo a 2 + 4 y 2 = z 2 , temos que 4 y   d y = z   d z , de forma que

W = 16 k Q q ∫ a a 2 + 4 y m á x 2 z / 4 z 3 d z = 4 k Q q ∫ a a 2 + 4 y m á x 2 1 z 2 d z W = 4 k Q q 1 a - 1 a 2 + 4 y m á x 2

Precisamos encontrar y m á x . Notemos que a força será máxima quando d F d y = 0 . Assim,

d d y y a 2 + 4 y 2 3 / 2 = 0 ⟹ a 2 + 4 y 2 3 / 2 - y ⋅ 3 2 8 y a 2 + 4 y 2 1 2 a 2 + 4 y 2 2 = 0 a 2 + 4 y 2 1 / 2 a 2 + 4 y 2 - 12 y 2 a 2 + 4 y 2 2 = 0

ou seja,

a 2 - 8 y 2 = 0 ⟹ y = a 2 2

Passo 2

Assim, segue que:

W = 4 k Q q 1 a - 1 a 2 + a 2 2 = 4 k Q q a 1 - 2 3

Ou seja,

1 2 m v 2 = W 1 2 M v 2 = 4 k Q q a 1 - 2 3 v = 8 1 - 2 3 k Q q a M ≈ 1,21 k Q q a M

Resposta

  1. 16 k Q y a 2 + 4 y 2 3 / 2
  2. 16 k Q q y a 2 + 4 y 2 3 / 2
  3. 1,21 k Q q a M
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