Durante uma missão lunar é necessário aumentar a velocidade de uma espaçonave em 2,2   m / s quando ela está se movendo a 400   m / s em relação à Lua. A velocidade dos produtos de exaustão do motor do foguete é de 1000   m / s em relação à espaçonave. Que fração da massa inicial da espaçonave deve ser queimada e ejetada para obter o aumento de velocidade desejado.

Passo 1

Vamos lembrar da primeira equação do foguete:

Δ v = u ln ⁡ M f M i

Ela te diz quanto a velocidade varia para uma certa mudança na massa, de um valor M f para M i , quando a velocidade dos produtos de exaustão em relação ao foguete é u .

Nesse caso, queremos a seguinte variação de velocidade:

Δ v = 2,2   m / s

E o valor de u foi dado no enunciado:

u = 1000   m / s

Passo 2

Agora é só substituir na equação para encontrar a razão entre a massa inicial e final:

Δ v = u ln ⁡ M i M f

2,2 1000 = ln ⁡ M i M f

Vamos aplicar a função exponencial dos dois lados da equação:

M i M f = e 0,0022

Elevando os dois lados a - 1 , ficamos com:

M f M i = e - 0,0022

Passo 3

Então, no final das contas, a massa final do foguete será:

M f = M i   e - 0,0022

E por isso, a fração x da massa inicial que foi queimada é:

x = 1 - e - 0,0022

x = 2,2   .   10 - 3

Resposta

A fração da massa inicial que foi queimada é 2,2   .   10 - 3 .

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