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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 66

Einstein e Lorentz, fanáticos por tênis, jogam uma partida rápida em um campo onde a distância entre eles 20,0   m . Como eles são jogadores muito experientes, jogam sem a rede. A massa da bola de tênis é 0,0580   k g . Despreze a gravidade e suponha que a bola se desloque paralelamente ao solo entre os dois homens. A menos que seja especificado algo em contrário, as medidas são feitas pelos dois jogadores. a) Lorentz envia uma bola com uma velocidade de 80,0   m / s . Qual é a energia cinética da bola? b) Einstein rebate e a bola adquire uma velocidade de 1,80 × 10 8   m / s . Qual é a energia cinética da bola? c) Durante o retorno da bola de Einstein do item (a), um coelho branco corre pela margem do campo paralelamente à direção da bola no sentido de Einstein para Lorentz. A velocidade do coelho é 2,20 × 10 8   m / s

Em relação aos dois homens. Qual é a velocidade do coelho em relação à bola? d) Qual a distância entre Einstein E Lorentz medida pelo coelho? e) De acordo com os dois observadores, qual é o tempo que o coelho leva para percorrer a distância de 20,0   m ? f) O coelho branco transporta um relógio de bolso. Ele usa o relógio para medir o intervalo de tempo (que ele observa) para percorrer a distância entre Einstein e Lorentz. Qual é o valor que ele mede?

Passo 1

a) Bom, basta a gente usar a equação da energia cinética para a bola:

K = m v 2 2

Substituindo os valores:

K = 0,0580   k g ( 80   m / s ) 2 2

K = 186   J

Passo 2

b) Nesse caso, como a situação é relativística, por conta da bola velocidade ser muito alta, precisamos usar a equação de energia cinética relativística:

K = γ - 1 m c 2

K = 1 1 - v 2 / c 2 - 1 m c 2

Substituindo os valores:

K = 1 1 - ( 2,20 × 10 8   m / s ) 2 / ( 3,0 × 10 8   m / s ) 2 - 1 ( 0,0580   k g ) ( 3,0 × 10 8   m / s ) 2

K = 1,31 × 10 15   J

Passo 3

c) Como estamos querendo calcular a velocidade do coelho em relação à bola, basta usarmos a transformação de Lorentz para a velocidade:

v x = v x ' + u 1 + u v x ' / c 2

A velocidade dele que vai ser o nosso v x ' no referencial de Einstein e de Lorentz e v x no referencial da bola

A bola vai na direção de Lorentz para Einstein, enquanto o coelho vai no sentido inverso, u então é negativo. (que é a velocidade do referencial da bola.) Substituindo os valores:

v x = 2,20 × 10 8   m / s - 1,80 × 10 8   m / s 1 + ( - 1,80 × 10 8   m / s ) ( 2,20 × 10 8   m / s ) / ( 3,0 × 10 8   m / s )

v x = 7,14 × 10 7   m / s

Passo 4

d) No referencial do coelho, a distância entre os cientistas é ∆ x ' , usando a transformação:

∆ x ' = ∆ x γ

Substituindo os valores:

∆ x ' = 1 - ( 2,20 × 10 8   m / s ) 2 / ( 3,0 × 10 8   m / s ) 2 ( 20,0   m )

∆ x ' = 13,6   m

Passo 5

e) Podemos apenas dividir a distância percorrida pela velocidade do coelho:

v = x t

t = x v

Substituindo os valores:

t = 20,0   m 2,20 × 10 8   m / s

t = 9,09 × 10 - 8   s

Passo 6

f) Como o coelho se desloca em uma velocidade muito alta, precisamos usar a equação de transformação para os tempos, entre o referencial de Eisntein e Lorentz e o do coelho:

t ' = t γ = ( 9,09 × 10 - 8   s ) 1 - ( 2,20 × 10 8   m / s ) 2 / ( 3,0 × 10 8   m / s ) 2

Usando o valor de t que calculamos antes:

t ' = ( 9,09 × 10 - 8   s ) 1 - ( 2,20 × 10 8   m / s ) 2 / ( 3,0 × 10 8   m / s ) 2

t ' = 6,18 × 10 - 8   s

Resposta

a )   K = 186   J

b )   K = 1,31 × 10 15   J

c )   v x = 7,14 × 10 7   m / s

d )   ∆ x ' = 13,6   m

e )   t = 9,09 × 10 - 8   s

f )   t ' = 6,18 × 10 - 8   s

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