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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 63

A equação de Schrödinger dependente do tempo. A Equação (39.18) é a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão. A equação de Schrödinger dependente do tempo é

- h 2 2 m ∂ 2 ψ ( x , t ) ∂ x 2 + U ( x ) ψ ( x , t ) = i h ∂ ψ ( x , t ) ∂ t

Se ψ ( x ) é uma solução para a Equação (39.18) com energia E , mostre que a função dependente do tempo ψ ( x , t ) = ψ ( x ) e - i ω t é uma solução para a equação Schrödinger dependente do tempo se ω for escolhido de modo adequado. Qual é o valor de ω que torna ψ uma solução?

Passo 1

Para sabermos se a função dada é solução, precisamos substituir a função na equação:

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 Ψ ( x , t ) ∂ x 2 + U ( x ) Ψ ( x , t ) = i h 2 π ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 ψ ( x ) e - i ω t ∂ x 2 + U ( x ) ψ ( x ) e - i ω t = i h 2 π ∂ ψ ( x ) e - i ω t ∂ t

- e - i ω t h / 2 π 2 2 m ∂ 2 ψ ( x ) ∂ x 2 + U ( x ) ψ ( x ) e - i ω t = i h 2 π ψ ( x ) e - i ω t - i ω

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 ψ ( x ) ∂ x 2 + U ( x ) ψ ( x ) = i h 2 π ψ ( x ) - i ω

Passo 2

Do enunciado sabemos que ψ ( x ) é uma solução da função de onda independente do tempo, ou seja:

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 ψ ( x ) ∂ x 2 + U ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x )

Passo 3

Então:

i h 2 π - i ω = E

ω h 2 π = E

ω = 2 π E h

Resposta

ω = 2 π E h

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