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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 60

Energia do ponto zero. Considere uma partícula de massa m movendo-se através de um potencial U = 1 2 k x 2 , como no caso do sistema massa-mola. A energia total da partícula é E = p 2 / 2 m + 1 2 k x 2 . Suponha que p e x sejam relacionados pelo princípio da incerteza de Heisenberg, p x ≈ h . (a) Calcule o menor valor possível da energia E bem como o valor de x que fornece o valor mínimo de E . Esse valor mínimo da energia, que não é igual a zero, denomina-se energia do ponto zero. (b) Para o valor de x calculado no item (a), qual é a razão entre a energia cinética e a energia potencial da partícula?

Passo 1

letra a)

Usando a equação da energia dada no enunciado, temos que:

E = p 2 2 m + 1 2 k x 2

Substituindo o momento linear:

E = h / x 2 2 m + 1 2 k x 2

Então o menor valor de energia será:

d E d x = 0

d d x h / x 2 2 m + 1 2 k x 2 = 0

- h 2 m x 3 + k x = 0

h 2 m x 3 = k x

h 2 x 4 = k m

x 2 = h k m

Passo 2

Então o menor valor da energia será:

E = h 2 2 m h k m + 1 2 k h k m

E = h k m 2 m + h 2 k m

E = h 2 k m + h 2 k m

E = h k m

Passo 3

letra b)

Pela resposta do item anterior, podemos ver que as energias são iguais:

K = U

Logo a razão entre elas será 1 .

Resposta

letra a) x 2 = h k m , E = h k m

letra b) E / U = 1

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