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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 23

Uma esfera condutora oca, com raio externo de 0,250   m e raio interno de 0,200   m , possui uma densidade superficial de carga uniforme de + 6,37 × 10 - 6   C / m 2 . Uma carga de - 0,500   μ C é introduzida na cavidade no interior da esfera. a Qual é a nova densidade de carga na parte externa da esfera? b Calcule a força do campo elétrico fora da esfera. c Qual é o fluxo elétrico através de uma superfície esférica na superfície interior da esfera?

Passo 1

Sabendo que a densidade superficial de carga é dada por:

σ = q A

Temos que a carga na superfície inicialmente é:

q = A .   σ

Sabemos também que a área superficial externa é dada pelo raio da casca externa:

A = 4 π R 2  

Logo, podemos substituir na fórmula anterior:

q = 4 π R 2 .   σ

Substituindo os valores que já conhecemos:

q = 4 π 0,25   m 2 6,37 × 10 - 6 C m 2 → q = 5 × 10 - 6   C

Encontramos que a carga inicial na casca esférica era igual a q c a r g a   i n i c i a l = 5 × 10 - 6   C .

Passo 2

Podemos considerar que, como a nova carga é negativa e se encontra no centro da esfera, a densidade pode ser calculada pela diferença entre as densidades geradas por cada carga na superfície externa.

σ f i n a l = σ c a r g a   i n i c i a l -   σ c a r g a   i n s e r i d a  

σ f i n a l = q c a r g a   i n i c i a l A - q c a r g a   i n s e r i d a A

Então:

σ f i n a l = 5 × 10 - 6   C 4 π 0,25   m 2 -   0,5 × 10 - 6   C 4 π 0,25   m 2

σ f i n a l = 5 - 0,5 × 10 - 6   C 4 π 0,25   m 2

σ f i n a l = 5,73 × 10 - 6   C m 2

Passo 3

Determinada a densidade superficial, conseguimos usar o seu resultado para calcular o campo elétrico através da equação:

E = σ ϵ 0

Tal que:

E = 5,73 × 10 - 6   C m 2 8,854 × 10 - 12 C 2 N m 2

Logo:

E = 6,47 × 10 5 N C

Passo 4

Para o último caso, vamos considerar a superfície interna. Já sabemos a Lei de Gauss, certo? Ela é dada por:

Φ E = ∮ E → ∙ d A → = Q ϵ 0

Considerando uma superfície gaussiana esférica com o mesmo raio da superfície interna da esfera condutora, o fluxo elétrico será dado por:

Φ E = q c a r g a   i n s e r i d a ϵ 0

Como a única carga presente na cavidade interior tem valor de - 0,500   μ C , então:

Φ E = - 0,5 × 10 - 6   C 8,854 × 10 - 12 C 2 N m 2

Φ E = - 5,65 × 10 4 N m 2 C

Resposta

a   5,73 × 10 - 6   C m 2

b   6,47 × 10 5 N C

c   - 5,65 × 10 4 N m 2 C

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