Enunciado
Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 6
Uma esfera oca, com de raio e momento de inércia em relação a uma reta que passa pelo centro de massa , rola sem deslizar, subindo uma superfície com uma inclinação de em relação à horizontal. Em uma certa posição inicial, a energia cinética total da esfera é .
Quanto dessa energia cinética se deve à rotação?
Qual é a velocidade do centro de massa da esfera na posição inicial?
Após a esfera ter se deslocado ao longo da superfície inclinada a partir da posção inicial, qual é
a energia cinética total?
a velocidade do centro de massa?
Passo 1
Fala aiii galerinha bonita, tranquileba? Vamos praticar um pouco de mecânica rotacional? Partiu!!
Pra gente calcular quanto da energia cinética inicial se deve à rotação vamos fazer uma comparação. E comparar coisas no mundo matemático, é fazer uma razão entre elas.
Mas calma lá chefia, saca só, primeiro vamos calcular a energia cinética de rotação, dada como:
Logo, como e o momento de inércia de uma esfera oca de raio é , temos que:
Já a energia cinética total será:
Agora vamos fazer razão entre elas, dividindo uma pela outra, tal que:
Ou seja, a energina cinética rotacional equivale a da energia cinética total!!
Passo 2
Agora que temos a energia cinética total em função apenas da velocidade do centro de massa (dá uma espiada na ali em cima), e a energia cinética inicial é , podemos achar a velocidade do centro de massa no instante inicial:
De forma que:
Daí tu chega aqui, vai pegar os dados e vê que... oops, não temos a massa!
Mas é ai que tá a malandragem, porque não temos a massa mas temos o momento de inércia! O momento de inércia de uma casca esférica é dado como:
Logo:
Subsituindo os valores que conhecemos:
Pronto! Agora sim podemos achar a velocidade do centro de massa:
Portanto:
Passo 3
Agora o problema pergunta a energia cinética total quando o objeto se locomoveu rampa a cima. Como não há dissipação de energia, vamos usar o princípio da conservação da enrgia para resolvermos.
Logo:
Nesse caso, a esfera oca percorre sobre a rampa, MAAAASSS, nossa rampa é inclinada um ângulo , de forma que a altura que ela ganha não é igual a , essa altura é dada pela relação:
Agora é só substituir:
Passo 4
E a velocidade nesse ponto vai estar relacionada com a energia cinética total, que já calculamos lá no passo , dada por:
Logo:
