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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 31.Exercícios e Problemas - Ex. 70

No Exercício 65 (Fig. 31-62), considere a separação das bobinas uma variável s (não-necessariamente igual ao raio das bobinas, R). (a) Mostre que a primeira derivada do campo magnético (dB/dx) se anula no ponto médio P qualquer que seja o valor de r. Por que, de acordo com a simetria, esse resultado já era esperado? (b) Mostre que a segunda derivada do campo magnético (d^2B/dx^2) também se anula no ponto P desde que s = R. Isso explica a uniformidade de R nas proximidades de P, para esta separação particular das bobinas.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Este problema é a derivação mais importante das propriedades da bobina de Helmholtz.

(a) O campo magnético de uma bobina é

B 1 = µ 0 N i R 2 2 R 2 + z 2 3 / 2

O campo magnético da outra bobina, localizada a uma distância s , mas para pontos medidos a partir da primeira bobina, é

B 2 = µ 0 N i R 2 2 R 2 + z   -   s 2 3 / 2

Passo 2

O campo magnético no eixo entre as bobinas é a soma de B 1 e B 2 .

B = µ 0 N i R 2 2 R 2 + z 2 3 / 2 + µ 0 N i R 2 2 R 2 + z   -   s 2 3 / 2

Obtenha a derivada em relação a z e obtenha

d B d z = - 3 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z 2 5 2   z - 3 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z - s 2 5 / 2 ( z   -   s )

Em z = s / 2 esta expressão desaparece! Esperamos isso por simetria, porque o campo magnético será mais forte no plano de qualquer bobina, então o ponto médio deve ser um mínimo local.

Passo 3

(b) Obtenha a derivada novamente e

d 2 B d z 2 = - 3 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z 2 5 2   + 15 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z 2 5 2 z 2 - 3 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z - s 2 5 2 + 15 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z - s 2 5 2 z - s 2

Poderíamos tentar simplificar isso, mas realmente não queremos; em vez disso, queremos defini-lo igual a zero, então deixe z = s / 2 e, em seguida, resolva para s. A segunda derivada será igual a zero quando

- 3 ( R 2 + z 2 )   +   15 z 2   -   3 ( R 2 + z - s 2 )   +   15 z   -   s 2   =   0

e como z é s / 2 , esta expressão simplificará para

30 s 2 2 = 6 R 2 + s 2 2

4 s 2 2 = R 2

s = R

Resposta

  1. d B d z = - 3 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z 2 5 2   z - 3 µ 0 N i R 2 2 R 2 + z - s 2 5 / 2 ( z   -   s )

  2. s = R

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