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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 20.1 - Ex. 20

Expande-se 1 m o l de um gás monoatômico ideal inicialmente a 5 k P a e 600 K de volume inicial V i = 1 m ³ para o volume final V f = 2 m ³   . Em qualquer instante durante a expansão, a pressão p e o volume V do gás estão relaciondos por

p = 5 exp ⁡ V i - V a

Com a = 1 m ³ , p em k P a e V em m ³ . Qual é ( a ) a pressão e ( b ) a temperatura final do gás? ( c ) Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? ( d ) Qual é o valor de Δ S para a expansão (Sugestão: use dois processos reversíveis para determinar Δ S )

Passo 1

Temos uma expressão que dá a pressão em qualquer instante, então para determinar a pressão final podemos usar ela:

p f = 5 exp ⁡ 1 - 2 1 = 5 . e - 1 = 1,83 k P a

Passo 2

Para determinar a temperatura final, vamos utilizar a Lei geral dos gases ideais:

p 1 V 1 T 1 = p 2 V 2 T 2

Como p 1 = 5 k P a ,   p 2 = 1,83 k P a ,     V 1 = 1 m ³ ,   V 2 = 2 m ³ ,   T 1 = 600 K , podemos determinar a temperatura T 2 :

5.1 600 = 1,83.2 T 2

T 2 = 4 30,59 K

Passo 3

O trabalho é dado por:

W = ∫ p d V

E como temos uma expressão de p ( V ) , podemos substituir na integral:

W = ∫ 5 exp ⁡ V i - V a d V

Por substituição temos:

u = V i - V / a

d u = - 1 / a d V

Substituindo na integral temos:

W = - 5 a ∫ e u . d u = - 5 . e 1 - 2 - e 1 - 1 = - 5 e - 1 - 1 = 3,16 k J

Passo 4

Para a variação da entropia, vamos seguir a sugestão. Da definição:

Δ S = ∫ d Q T

Podemos fazer uma expansão isotérmica e depois uma expansão isovolumétrica, determinar a variação da entropia em cada processo e assim determinar a variação total da entropia.

Vamos começar pela expansão isotérmica. Como Δ T = 0 , pela primeira Lei da termodinâmica Δ E i n t = 0 ∴ Q = W .

O calor Q vai ser dado por Q = W = n R T l n ( V f / V i ) e a temperatura T vai ser a temperatura inicial de 600 K , temos:

Δ S 1 = 1 T ∫ d Q = 1 T n R T l n V f V i = 1.8,314.600 600 . ln ⁡ 2 1 = 5,76 J / K

Passo 5

O segundo processo vai ser uma expansão isovolumétrica, na qual Δ V = 0   ∴ W = 0 e o calor Q envolvido vai ser Q = Δ E i n t . Assim temos

Δ E i n t = g 2 n R Δ T

E a variação da entropia é:

Δ S 2 = ∫ d Q T = 3 2 . 1.8,314 ∫ d T T = 12,46 ln ⁡ T f T i = 12 , 46 ln ⁡ 4 30,59 600 = - 4,13 J / K

Passo 6

E a variação total da entropia vai ser a soma das variações dos dois processos:

Δ S t o t a l = 5,76 - 4,13 = 1 , 63 J / K

Resposta

( a ) 1,83 k P a

( b ) 430,59 K

( c ) 3,16 k J

( d ) 1,63 J / K

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