Uma roda pode girar livremente em torno do eixo, que é mantido fixo. Uma mola está presa a um dos raios a uma distância r do eixo, como mostra a Fig. 15-50. (a) Supondo que a roda é um anel de massa m e raio R , qual é a frequência angular ω para pequenas oscilações deste sistema em termos de m , R , r e da constante elástica k ? Qual é o valor de ω para (b) r = R e (c) r = 0 ?

Passo 1

Antes, da gente calcular a frequência natural do sistema, vamos calcular a sua energia mecânica total. Sabendo que o momento de inércia da roda é dada por I = m R 2 , a energia do sistema fica

E = 1 2 I ω 2 + 1 2 k x 2

Se, agora, a gente transformar a velocidade angular da roda em velocidade linear da mola no ponto de fixação com a roda, e depois substituir na equação da energia, a gente tem que

r ω = v

Substituindo agora na equação da energia

E = 1 2 m R 2 r 2 v 2 + 1 2 k x 2

Essa equação se parece com a energia do oscilador harmônico simples. Se nós identificarmos a massa m no termo da energia cinética com o termo m R 2 / r 2 que aparece neste problema, a gente consegue descobrir a frequência natural de oscilação desse sistema.

ω = k m R 2 / r 2 = r R k m

Passo 2

(b) Se r = R , o resultado da equação acima se reduz para

ω = k / m

Passo 3

Se r = 0 , então ω = 0 (a mola não exerce nenhum torque restaurador na roda de modo que esta seja não trazida de volta para a sua posição de equilíbrio).

Resposta

(a) ω = r R k m

(b) ω = k / m

(c) ω = 0

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