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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 91

Em um experimento no laboratório de física, a extremidade de uma mola horizontal que obedece à lei de Hooke é presa a uma parede. A mola é comprimida por 0,400   m e o bloco, com massa de 0,300   k g , é preso a ela. A mola é então liberada, e o bloco se move ao longo de uma superfície horizontal. Sensores eletrônicos medem a velocidade v do bloco depois que ele tiver atravessado uma distância d de sua posição inicial contra a mola comprimida. Os valores medidos são listados na tabela. (a) Os dados mostram que a velocidade v do bloco aumenta e depois diminui à medida que a mola retorna a seu comprimento original. Explique por que isso acontece, em termos do trabalho realizado sobre o bloco pelas forças que atuam sobre ele. (b) Use o teorema do trabalho-energia para derivar uma expressão para v 2 em termos de d . (c) Use um programa gráfico (por exemplo, Excel ou Matlab) para representar os dados como v 2 (eixo vertical) versus d (eixo horizontal). A equação que você derivou na parte (b) deverá mostrar que v 2 é uma função de segundo grau de d ; portanto, no seu gráfico, ajuste os dados por um polinômio de segundo grau (quadrático) e faça com que o programa mostre a equação para essa linha de tendência. Use essa equação para achar a velocidade v máxima do bloco e o valor de d no qual essa velocidade ocorre. (d) Comparando a equação do programa gráfico com a fórmula que você derivou no item (b), calcule a constante de força k para a mola e o coeficiente de atrito cinético para a força de atrito que a superfície exerce sobre o bloco.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Esse é um exercício mais complicadinho porque envolve dados e uma interpretação bem detalhada da situação, além da construção de um modelinho para descrever o problema.

Seja Δ x a deformação da mola. Quando Δ x < 0 , a mola está comprimida. Já para Δ x > 0 , a mola está esticada. A força elástica restauradora que a mola faz sobre o bloco é

F = - k   Δ x

Vamos tentar escrever Δ x em termos da posição x do bloco. Na posição x = 0 (inicial), a deformação da mola é Δ x = - D , onde D = 0,400   m . Já quando x = D , a mola está relaxada, com Δ x = 0 . Com isso, parece razoável escrever

Δ x = x - D

Portanto,

F = - k x - D

O trabalho da força elástica entre a posição inicial x = 0 e uma posição arbitrária x = d é dado por

W F = ∫ 0 d F   d x = - k   ∫ 0 d x - D   d x = - k   x 2 2 - D x 0 d

Portanto,

W F = - k d 2 2 - D d = k D d - k 2 d 2

Passo 2

Já o trabalho do atrito é simplesmente

W F a t = - μ N d = - μ m g d

Com isso, podemos achar o trabalho total somando os trabalhos:

W = W F + W F a t = k D - μ m g   d - k 2 d 2

Daí, basta usar o teorema trabalho-energia:

W = K f - K i

Como a energia cinética inicial é nula, temos que

k D - μ m g   d - k 2 d 2 = 1 2 m v 2

Isolando v 2 , temos que

v 2 = - k m d 2 + 2 k D m - 2 μ g d

Para simplificar um pouco as coisas, vou escrever

v 2 = - A   d 2 + B   d ,               A = k m                     B = 2 k D m - 2 μ g

Portanto, nosso modelo prevê que v 2 seja uma função quadrática de d . No próximo passo vamos plotar os pontos da tabela e ver isso ocorre!

Passo 3

A tabela forneceu v como função de d . Vamos elevar as velocidades ao quadrado para ter os dados do jeito que a gente quer:

Bom, agora plotamos os pontos e ajustamos uma curva usando um software de ajuste:

Os parâmetros A e B encontrados foram

A = 39,9863                 B = 16,3191

Para achar o valor máximo da curva, basta tomar a derivada da expressão de v 2 :

d d d v 2 = - 2 A d + B = 0 → d = B 2 A

Logo,

d = 16,3191 2 ⋅ 39,9863 = 0,204   m

A velocidade correspondente é

v m a x = - 39,9863 ⋅ 0,204 2 + 16,3191 ⋅ 0,204

Portanto,

v m a x = 1,29   m / s

Passo 4

Agora que temos A e B , podemos achar k e μ :

A = k m → k = m A

Logo,

k = 0,300 ⋅ 39,9863 → k = 11,99   N / m

Da mesma forma,

B = 2 k D m - 2 μ g → 2 μ g = 2 A D - B

Ou ainda,

μ = 2 A D - B 2 g = 2 ⋅ 39,9863 ⋅ 0,400 - 16,3191 2 ⋅ 9,8 → μ = 0,799

Resposta

v 2 = - k m d 2 + 2 k D m - 2 μ g d

v m a x = 1,29   m / s

k = 11,99   N / m

μ = 0,79 9

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