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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 38.9 - Ex. 77

Um feixe de elétrons de energia E = 5,1   e V incide em uma barreira de altura U b = 6,8   e V e largura L = 750   p m . Qual é a variação percentual do coeficiente de transmissão T correspondente a uma variação de 1,0 % (a) da altura da barreira; (b) da largura da barreira; (c) da energia cinética dos elétrons?

Passo 1

Sabemos que o coeficiente de transmissão é dado por

T = e - 2 b L ,

onde

b = 8 π 2 m c 2 U b - E h c 2

Vamos estudar primeiro a variação percentual quando a altura da barreira U b varia em 1,0 % :

Δ T = ∂ T ∂ U b ⋅ Δ U b

Tomando a derivada pela regra da cadeia:

∂ T ∂ U b = ∂ T ∂ b ⋅ ∂ b ∂ U b = - 2 L   e - 2 b L ⋅ ∂ b ∂ U b = - 2 L   ∂ b ∂ U b   T

Portanto,

Δ T = - 2 L   ∂ b ∂ U b   T   Δ U b ⇒ Δ T T = - 2 L   ∂ b ∂ U b   Δ U b

Fazendo a derivada de b :

∂ b ∂ U b = 1 2 8 π 2 m c 2 U b - E h c 2 ⋅ 8 π 2 m c 2 h c 2 = 4 π 2 m c 2 b h c 2

Logo,

Δ T T = - 2 L ⋅ 4 π 2 m c 2 b h c 2 ⋅ Δ U b = - 8 π 2 L m c 2 b   h c 2   Δ U b

Passo 2

Com relação à largura da barreira:

Δ T = ∂ T ∂ L ⋅ Δ L = - 2 b   e - 2 b L   Δ L = - 2 b   T   Δ L

Portanto,

Δ T T = - 2 b   Δ L

Por fim, com relação a energia dos elétrons:

Δ T = ∂ T ∂ E ⋅ Δ E

As contas serão as mesmas do passo com uma mudança de sinal:

Δ T T = 8 π 2 L m c 2 b   h c 2   Δ E

Passo 3

Agora vamos fazer as contas:

b = 8 π 2 m c 2 U b - E h c 2 = 8 π 2 ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V   6,8 - 5,1   e V 1240   e V   n m 2 = 6,67 ⋅ 10 9   m - 1

Para o item (a), Δ U b = 0,01 ⋅ 6,8   e V = 0,068   e V :

Δ T T = - 8 π 2 L m c 2 b   h c 2   Δ U b = - 8 π 2 ⋅ 750 ⋅ 10 - 12   m ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V 6,67 ⋅ 10 9   m - 1 ⋅ 1240   e V   n m 2 ⋅ 0,068   e V = - 0,20

No item (b), Δ L = 0,01 ⋅ 750 ⋅ 10 - 12   m = 7,50 ⋅ 10 - 12   m :

Δ T T = - 2 b   Δ L = - 2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 9   m - 1 ⋅ 7,50 ⋅ 10 - 12   m = - 0,10

Por fim, no item (c), Δ E = 0,01 ⋅ 5,1   e V = 0,051   e V :

Δ T T = 8 π 2 L m c 2 b   h c 2   Δ E = 8 π 2 ⋅ 750 ⋅ 10 - 12   m ⋅ 511 ⋅ 10 3   e V 6,67 ⋅ 10 9   m - 1 ⋅ 1240   e V   n m 2 ⋅ 0,051   e V = 0,15

Resposta

- 0,20 = - 20 %

- 0,10 = - 10 %

0,15 = 15 %

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