47. Uma partícula de massa m e energia total E tunela através de uma barreira de potencial quadrado com altura U 0 e largura L . Quando o coeficiente de transmissão não é muito menor do que 1 , ele é dado por T = 1 + U 0 senh ⁡ κ L 2 4 E ( U 0 - E ) - 1 onde o seno hiperbólico de κ L é definido pela relação senh ⁡ L = ( e κ L - e - κ L ) / 2 . a ) Mostre que, quando κ L ≫ 1 , a expressão de T tende ao resultado indicado Equação ( 40.21 ) . b ) Explique por que a restrição do item ( a ) , κ L ≫ 1 , implica ou que a barreira é relativamente larga ou que a energia E é relativamente pequena em comparação com U 0 . c ) Mostre que a energia cinética incidente E da partícula tende a se igualar à altura da barreira U 0 quando T tende a 1 + k L / 2 2 - 1 , onde k = 2 m E / ℏ é o número de onda da partícula incidente. (Sugestão: quando z ≪ 1 , senh ⁡ z ≈ z .)

Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Problemas - Ex. 47

47. Uma partícula de massa e energia total tunela através de uma barreira de potencial quadrado com altura e largura Quando o coeficiente de transmissão não é muito menor do que , ele é dado por

onde o seno hiperbólico de é definido pela relação . Mostre que, quando , a expressão de tende ao resultado indicado Equação . Explique por que a restrição do item , , implica ou que a barreira é relativamente larga ou que a energia é relativamente pequena em comparação com . Mostre que a energia cinética incidente da partícula tende a se igualar à altura da barreira quando tende a , onde é o número de onda da partícula incidente. (Sugestão: quando , .)

Passo 1

Vamos lá galera, então o item não tem mistério, vamos ter uqe pegar a expressão que o enunciado nos deu e ir manipulando ela com a condição que nos foi dada, , então vamos ficar brincando com ela até chegar na equação , dada por:

Bem, para responder o item , temos que ficar ligados de como pode ser expresso, ele é dado por:

Deixa esse cara quietinho por agora que depois vamos desenvolver o pensamento sobre esse item depois.

Para o item vamos ter que usar a expressão de dada pelo enunciado mais uma vez, mas agora usando a aproximação mostrada na sugestão do exercício e com isso ir brincando com essa expressão e também vamos usar a definição de que mostrei acima.

Vamos lá então!

Passo 2

Vamos começar a mexer com , inicialmente temos:

Agora vamos usara definição de seno hiperbólico para (no enunciado faltou no ), temos que:

Agora, você concorda comigo que para um a exponencial fica muito pequena, já que:

Então quando , temos que:

Então no final temos que:

Então nossa expressão para , fica assim:

Logo:

Agora vamos prestar atenção no denominador para a situação que , o termo fica muito maior que , então podemos desprezar esse último assim:

Isolando , temos:

Pronto, chegamos onde o enunciado queria.

Passo 3

Agora vamos pensar sobre o item .

Quando temos , temos duas possibilidades para que isso seja verdade, outemos um muito grande, daí vem o fato de a barreira ser muito longa ou temos que é muito grande, mas temos que: