47. Uma partícula de massa e energia total tunela através de uma barreira de potencial quadrado com altura e largura Quando o coeficiente de transmissão não é muito menor do que , ele é dado por

onde o seno hiperbólico de é definido pela relação . Mostre que, quando , a expressão de tende ao resultado indicado Equação . Explique por que a restrição do item , , implica ou que a barreira é relativamente larga ou que a energia é relativamente pequena em comparação com . Mostre que a energia cinética incidente da partícula tende a se igualar à altura da barreira quando tende a , onde é o número de onda da partícula incidente. (Sugestão: quando , .)

Vamos começar a mexer com , inicialmente temos:

Agora vamos usara definição de seno hiperbólico para (no enunciado faltou no ), temos que:

Agora, você concorda comigo que para um a exponencial fica muito pequena, já que:

Então quando , temos que:

Então no final temos que:

Então nossa expressão para , fica assim:

Logo:

Agora vamos prestar atenção no denominador para a situação que , o termo fica muito maior que , então podemos desprezar esse último assim:

Isolando , temos:

Pronto, chegamos onde o enunciado queria.

Agora vamos pensar sobre o item .

Quando temos , temos duas possibilidades para que isso seja verdade, outemos um muito grande, daí vem o fato de a barreira ser muito longa ou temos que é muito grande, mas temos que:

Sabendo que e são constantes, a única possibilidade de ser muito grande é de ser muito pequeno comparado a .

Vamos brincar com o item agora.

De novo vamos mexer na expressão de nada no enunciado, só que agora com a aproximação , então temos o seguinte:

Segundo a aproximação temos que , logo:

Usando a definição de , temos que:

Substituindo isso na nossa expressão temos que:

Simplificando, temos que:

Usando o fato de que queremos , temos que:

O enunciado nos fala que:

Então

Então nossa expressão para fica assim:

Ou melhor

Então quando tende a esse valor temos que e tende a ser iguais.